Question

Найдите радиусы окружности в писанные в квадрат и описанные около него если их произведение равно 4 корня из 2 квадратных сантиметров

Answer 1

диаметр вписанной есть длина стороны, диаметр описанной - длина диагонали квадрата, в квадрате диагональ относится к основ. как 1 к корню из 2х, то пусть сторона 2а, то диаг. 2(кор. из 2)*а, то произв.радиусов =(кор. из 2)*а^2=4(корня из 2), то а=2. значит радиус впис. =2, опис = два корня из 2х

Answer 2

Предположим, что квадрат вписан в окружность и описан вокруг него. Пусть \( r \) - радиус вписанной окружности, и \( R \) - радиус описанной окружности.

Сначала рассмотрим квадрат, вписанный в окружность. Если сторона квадрата равна \( a \), то диагональ квадрата (или диаметр вписанной окружности) равна \( d = \sqrt{2} \cdot a \).

Следовательно, радиус вписанной окружности равен половине диаметра:

\[ r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot a}{2} \]

Теперь рассмотрим квадрат, описанный вокруг окружности. Диаметр описанной окружности равен длине стороны квадрата:

\[ D = a \]

Следовательно, радиус описанной окружности равен половине диаметра:

\[ R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2} \]

У нас дано, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно \(4 \sqrt{2}\) см²:

\[ r \cdot R = 4 \sqrt{2} \]

Подставим выражения для \(r\) и \(R\):

\[ \left( \frac{\sqrt{2} \cdot a}{2} \right) \cdot \left( \frac{a}{2} \right) = 4 \sqrt{2} \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{\sqrt{2} \cdot a \cdot a}{4 \cdot 2} = 4 \sqrt{2} \]

\[ \frac{a^2}{8} = 4 \sqrt{2} \]

Умножим обе стороны на 8:

\[ a^2 = 32 \sqrt{2} \]

\[ a = \sqrt{32 \sqrt{2}} \]

\[ a = 4 \sqrt{2} \]

Теперь, когда мы знаем длину стороны квадрата \( a \), можем выразить радиусы вписанной и описанной окружностей:

\[ r = \frac{\sqrt{2} \cdot a}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot (4 \sqrt{2})}{2} = 4 \]

\[ R = \frac{a}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4 см, а радиус описанной окружности равен \(2 \sqrt{2}\) см.