Question

Найдите радиус окружности описаной около треугольника abc в котором ab=1см угол a =20градусов угол b=10градусов

Answer 1

1) ∠C=180-10-20=150°
2)По теореме синусов:
$\frac{AB}{sinC}=2R \\ R= \frac{AB}{2sinC} \\ R= \frac{1}{2*sin150} ;sin150=sin30=0,5; \\ R=1$

Ответ: R=1см

Answer 2

Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника \(ABC\) с данными сторонами и углами, воспользуемся свойствами треугольника.

Первым шагом найдем третий угол треугольника \(ABC\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). У нас есть два угла: \(a = 20^\circ\) и \(b = 10^\circ\), поэтому \(c = 180^\circ - a - b\):

\[c = 180^\circ - 20^\circ - 10^\circ = 150^\circ\]

Далее, вспомним основной факт о треугольниках: в описанном треугольнике угол, образованный дугой \(BC\) (в данном случае), в два раза больше угла треугольника у основания этой дуги.

Таким образом, угол, соответствующий дуге \(BC\), равен \(2c = 2 \times 150^\circ = 300^\circ\).

Теперь используем тот факт, что угол, соответствующий дуге \(BC\), равен удвоенному углу в центре, образованному хордой \(BC\) и радиусом окружности. Следовательно, угол в центре (образованный радиусом) равен половине угла дуги \(BC\).

Угол в центре: \(150^\circ\)

Теперь мы можем использовать тот факт, что треугольник, образованный радиусом, хордой и центральным углом, является равнобедренным. Таким образом, у нас получается, что:

\[\angle BOC = \angle BAC = 20^\circ\]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(BOC\), в котором один угол \(20^\circ\) (потому что он вписанный угол, который равен половине центрального угла, образованного дугой \(BC\)), а другой угол \(90^\circ\) (поскольку это основной угол, образованный радиусом и касательной к окружности в точке касания).

Теперь мы можем использовать тангенс угла в этом прямоугольном треугольнике для нахождения радиуса окружности:

\[ \tan(20^\circ) = \frac{BC}{BO} \]

Где \(BC = 1\) (так как это длина стороны треугольника \(ABC\) \(AB\)), исходя из условия задачи.

Таким образом,

\[BO = \frac{1}{\tan(20^\circ)} \]

Рассчитаем значение \(BO\):

\[BO ≈ \frac{1}{0.36397} ≈ 2.7487\ \text{см}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), составляет примерно \(2.7487\) сантиметров.