Question

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 5 см. Найти длину средней линии трапеции.

Answer 1

В вырожденном случае трапеции, при меньшем основании равном 0, длина большего основания по Пифагору = (12^2+5^2)^(1/2) = (144*25)^(1/2) = 169^(1/2) = 13 см
А средняя линия будет равна полусумме оснований, 6.5 см

Answer 2

Ответ: Средняя линия трапеции равна 6,5 см.

Решение: Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Тогда, по теореме Пифагора, можно найти длины оснований трапеции:

$$AO^2 + BO^2 = 12^2$$ $$AO^2 + CO^2 = 5^2$$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$$BO^2 - CO^2 = 12^2 - 5^2$$ $$(BO + CO)(BO - CO) = 119$$

Заметим, что 119 имеет только два натуральных делителя: 1 и 119. Значит, $BO + CO = 119$ и $BO - CO = 1$. Отсюда находим:

$$BO = \frac{119 + 1}{2} = 60$$ $$CO = \frac{119 - 1}{2} = 59$$

Тогда длины оснований трапеции равны:

$$AB = 2AO = 2\sqrt{12^2 - 60^2} = 2\sqrt{64} = 16$$ $$CD = 2CO = 2\sqrt{5^2 - 59^2} = 2\sqrt{9} = 6$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть:

$$MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{16 + 6}{2} = 6,5$$

Ответ: Средняя линия трапеции равна 6,5 см.