Question

Прямая, параллельная основаниям трапеции АВСD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны АВ и СD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=12см, ВС=24см.

Answer 1

О-точка пересечения диагоналей, проводим через О высоту трапеции H1H2, треугольники АОД и ВОС подобны ,стороны и высоты OH1/OH2= BC/AD= 24/12=2, пусть EF=x , OH1=a, OH2=2a, S(ABCD)=S(EADF)+S(BEFC),   H1H2=OH1+H2=a+2a=3a,
S(ABCD)= (12+24)*3a/2=( 24+x)*2a/2+(12+x)*a/2,
108a=48a+2xa+12a+xa., 3ax-48a =a(3x-48)=0,  x =48/3=16
Ответ: ЕF=x=16 cм

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

- \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, - \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны трапеции, - \(E\) и \(F\) - точки пересечения прямой с боковыми сторонами.

Также обозначим длину отрезка \(EF\) как \(x\).

Из условия задачи известно, что прямая, параллельная основаниям трапеции \(ABCD\), проходит через точку пересечения диагоналей. Таким образом, \(EF\) является средней линией трапеции \(ABCD\), а её длина равна полусумме длин оснований.

Мы знаем, что \(AD = 12 \, \text{см}\) и \(BC = 24 \, \text{см}\). Тогда длина средней линии \(EF\) равна:

\[EF = \frac{AB + CD}{2}\]

Так как \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, их длины равны. Обозначим их как \(h\):

\[EF = \frac{h + h}{2} = \frac{2h}{2} = h\]

Таким образом, чтобы найти длину отрезка \(EF\), нам нужно найти высоту трапеции \(h\). Мы знаем, что \(AD = 12 \, \text{см}\), \(BC = 24 \, \text{см}\), и \(ABCD\) - трапеция.

Теперь воспользуемся тем фактом, что в трапеции высота делит её на два подобных треугольника. Пусть \(h_1\) - высота треугольника \(ABE\), \(h_2\) - высота треугольника \(CDF\), и \(x\) - длина отрезка \(EF\).

Используем подобие треугольников:

\[\frac{h_1}{h_2} = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\]

Так как \(h_1 + h_2 = h\), можем записать систему уравнений:

\[\begin{cases} h_1 + h_2 = h \\ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2} \end{cases}\]

Решив эту систему, найдем значения \(h_1\) и \(h_2\), а затем сложим их, чтобы получить высоту \(h\). После этого сможем найти длину отрезка \(EF\).

\[h_1 = \frac{h}{3}, \quad h_2 = \frac{2h}{3}\]

Теперь можем найти длину отрезка \(EF\):

\[EF = h = h_1 + h_2 = \frac{h}{3} + \frac{2h}{3} = h\]

Таким образом, длина отрезка \(EF\) равна высоте трапеции \(h\).

Теперь остается найти высоту трапеции. Воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника \(ABC\):

\[AB^2 = BC^2 - AC^2\]

\[h^2 = 24^2 - \left(\frac{BC - AD}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 576 - \left(\frac{24 - 12}{2}\right)^2 = 576 - 36 = 540\]

\[h = \sqrt{540} = 6\sqrt{15}\]

Таким образом, длина отрезка \(EF\) равна \(6\sqrt{15}\) см.