Question

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов, определить полную поверхность конуса, образующая равна 20 см

Answer 1

Т.к. угол при вершине ос. сеч. конуса 60гр., то осевое сечение - это равносторонний треугольник. След-но, образующая равна диаметру основания, т.е. R = L / 2 = 10 (см).
Полная поверхность равна Sбок + Sосн = πRL + πR^2 = πR(L+R) = 3.14 * 10 * (20+10) = 942(см^2)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами конуса. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов, что означает, что у нас есть равносторонний треугольник в осевом сечении.

Пусть \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса, а \(h\) - высота конуса. Также, поскольку у нас равносторонний треугольник, стороны этого треугольника (от оси до точки на окружности) можно обозначить как \(r\), \(r\) и \(l\).

1. Вычислим радиус основания конуса (\(r\)) при помощи треугольника: В равностороннем треугольнике можно воспользоваться формулой косинусов: \[ r^2 = l^2 - 2 \cdot l \cdot r \cdot \cos(60^\circ) \] Известно, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому формула упрощается: \[ r^2 = l^2 - l \cdot r \] Выражаем \(r\) отсюда: \[ r = \frac{l}{2} \]

2. Вычислим высоту конуса (\(h\)): В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, применяем теорему Пифагора: \[ h^2 + r^2 = l^2 \] Подставляем значение \(r = \frac{l}{2}\): \[ h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = l^2 \] Упрощаем: \[ h^2 + \frac{l^2}{4} = l^2 \] Выражаем \(h\): \[ h = \frac{l}{2} \cdot \sqrt{3} \]

3. Вычислим полную поверхность конуса: Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания (круга) равна \(\pi \cdot r^2\), а площадь боковой поверхности равна \(\pi \cdot r \cdot l\). Таким образом, полная поверхность конуса: \[ S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \left(\frac{l}{2}\right)^2 + \pi \cdot \frac{l}{2} \cdot l \]

Упрощаем выражение, подставляя значение \(r = \frac{l}{2}\): \[ S = \pi \cdot \frac{l^2}{4} + \pi \cdot \frac{l^2}{2} = \frac{3\pi \cdot l^2}{4} \]

Таким образом, полная поверхность конуса равна \(\frac{3\pi \cdot l^2}{4}\), а высота конуса \(h = \frac{l}{2} \cdot \sqrt{3}\).