Question

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины отрезков A1D1, B1E1, C1F1 оказались равны, где A1,B1,C1,D1,E1,F1 — середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно. Пусть AB=3, BC=4, DE=5. Найдите угол между отрезками A1D1 и B1E1. Ответ выразите в градусах.

Answer 1

Можно построить контр пример , так как этот угол из условия однозначный.
Зададим сразу расстояние одной из прямых , пусть A1D1 , чтобы не вписывать множество переменных для произвольного шестиугольника , определим координаты 5 вершин произвольным образом , учитывая условно заданные расстояние и выпуклость , положим что
A(0,0) , B(3,0) , C(5,sqrt(12)) , D(3,7) , E(-2,8) , F(a,b)
При этом AB=3 , BC=4 , ED=5.
Тогда
A1(3/2,0)
B1(4, sqrt(3))
C1(4, 7/2+sqrt(3))
D1(1/2, 15/2)
E1((a-2)/2 , (b+8)/2)
F1(a/2, b/2)

Из условия A1D1=B1E1=F1C1 , получаем
(a-10)^2+(b+8-sqrt(12))^2=(a-8)^2+(b-7-sqrt(12))^2
откуда b=2a/15+(20*sqrt(3)-17)/10

Через скалярные произведение векторов найдём угол между векторами B1E1 и A1D1

cosa=(20-2a+15(b+8-sqrt(12)))/229
Подставляя найденный b и преобразовывая , получаем что cosa=1/2 или a=60 гр.

Ответ 60 градусов .

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Для начала, давайте обозначим угол между отрезками A1D1 и B1E1 как α.

Используя теорему косинусов, мы можем найти угол α, зная длины сторон A1D1, B1E1 и A1B1:

cos(α) = (A1D1^2 + B1E1^2 - A1B1^2) / (2 * A1D1 * B1E1)

Теперь давайте найдем длину стороны A1B1. В треугольнике AB1A1 у нас есть две стороны известной длины (AB = 3 и A1B1 = BC = 4), а также угол между ними (60 градусов), поэтому мы можем использовать теорему косинусов снова:

A1B1^2 = AB^2 + B1A1^2 - 2 * AB * B1A1 * cos(60)

A1B1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * 0.5

A1B1^2 = 9 + 16 - 12

A1B1^2 = 13

Теперь мы можем вернуться к формуле для нахождения cos(α):

cos(α) = (A1D1^2 + B1E1^2 - A1B1^2) / (2 * A1D1 * B1E1)

cos(α) = (A1D1^2 + B1E1^2 - 13) / (2 * A1D1 * B1E1)

Для нахождения угла α нам нужно найти его косинус и затем применить обратную функцию косинуса (арккосинус) к результату. Выразим угол α в градусах:

α = arccos[(A1D1^2 + B1E1^2 - 13) / (2 * A1D1 * B1E1)]

Теперь, с учетом данных задачи (AB = 3, BC = 4, DE = 5), мы можем вычислить значения A1D1 и B1E1:

A1D1 = AB + BC + CD + DE = 3 + 4 + 5 = 12

B1E1 = BC + CD + DE + EF = 4 + 5 + 5 = 14

Подставим эти значения в формулу и вычислим угол α:

α = arccos[(12^2 + 14^2 - 13) / (2 * 12 * 14)]

α = arccos[(144 + 196 - 13) / (2 * 12 * 14)]

α = arccos[327 / 336]

α ≈ arccos[0.9732]

α ≈ 12.75 градусов

Таким образом, угол между отрезками A1D1 и B1E1 примерно равен 12.75 градусов.