Question

Доказать что прямая параллельна плоскости то через любую точку этой плоскости можно провести прямую параллельную

Answer 1

Если на плоскости выбрать любую точку, то через эту точку и прямую по аксиоме можно провести плоскость. Она будет пересекать исходную плоскость по прямой, проходящей через эту точку параллельно исходной прямой(признак параллельности двух прямых). Что и требовалось доказать.  

Answer 2

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, нужно показать, что через любую точку этой плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.

Доказательство:

Пусть дана прямая l и плоскость P. Чтобы доказать, что прямая l параллельна плоскости P, нужно показать, что через любую точку A плоскости P можно провести прямую, параллельную прямой l.

Предположим, что прямая l и плоскость P не параллельны. Это означает, что прямая l пересекает плоскость P в точке B.

Теперь рассмотрим прямую m, проходящую через точку A и параллельную прямой l. Если прямая m пересекает плоскость P в точке C, то прямая m и прямая l пересекаются в точке C. Но это противоречит нашему предположению о том, что прямая l и плоскость P не параллельны.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что прямая l и плоскость P не параллельны, неверно. Следовательно, прямая l параллельна плоскости P.

Пример:

Пусть дана прямая l: x = 2y + 3, и плоскость P: 2x - 3y + z = 5. Чтобы доказать, что прямая l параллельна плоскости P, нужно показать, что через любую точку A плоскости P можно провести прямую, параллельную прямой l.

Возьмем точку A с координатами (1, 2, 1), которая лежит на плоскости P. Чтобы провести прямую, параллельную прямой l через точку A, мы можем использовать направляющий вектор прямой l, который равен (1, 2, 0).

Теперь мы можем записать уравнение прямой m, проходящей через точку A и параллельной прямой l: x = 1 + t y = 2 + 2t z = 1

Уравнение прямой m показывает, что прямая m проходит через точку A и параллельна прямой l. Таким образом, мы доказали, что прямая l параллельна плоскости P через любую точку A этой плоскости.

Заключение:

Мы доказали, что прямая параллельна плоскости, так как через любую точку этой плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.