Question

В равнобедренном треугольнике высота,опущенная на основание,равна 20,а основание относится к боковой стороне как 4:3.Найдите радиус вписанной окружности

Answer 1

Треугольник АВС, АВ=ВС, ВД-высота=медиане=биссектрисе=20, АС/АВ=4/3=4х/3х, АС=4х, АВ=3х, АД=СД=1/2АС=4х/2=2х, треугольник АВД прямоугольный, АВ в квадрате-АД в квадрате=ВД в квадрате, 9*х в квадрате-4*х в квадрате=400, х в квадрате=80, х=4*корень5, АД=2*4*корень5=8*корень5, АС=2*АД=2*8*корень5=16*корень5, АВ=3*4*корень5=12*корень5

площадь АВС=1/2*АС*ВД=1/2*16*корень5*20=160*корень5, полупериметрАВС=(12*корень5+12*корень5+16*корень5)/2=20*корень5, 

радиус вписанной=площадь/полупериметр=160*корень5/20*корень5=8

Answer 2

Давай разберем эту задачу! В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, даст нам два равнобедренных треугольника внутри исходного треугольника.

Мы знаем, что высота, опущенная на основание, равна 20. Пусть основание треугольника будет \(3x\), а боковая сторона \(4x\) (учитывая отношение 4:3).

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника. Посмотрим на то, как связаны стороны этих треугольников:

1. Основание большего равнобедренного треугольника \(= 3x\). 2. Основание меньшего равнобедренного треугольника \(= 4x\).

Теперь мы можем найти высоту большего равнобедренного треугольника, используя теорему Пифагора:

\[\text{Высота}^2 + \left(\frac{\text{Основание большего треугольника}}{2}\right)^2 = \text{Боковая сторона}^2\]

Подставим известные значения:

\[20^2 + \left(\frac{3x}{2}\right)^2 = (4x)^2\]

Раскроем скобки:

\[400 + \frac{9x^2}{4} = 16x^2\]

Перенесем всё на одну сторону уравнения:

\[16x^2 - \frac{9x^2}{4} = 400\]

\[64x^2 - 9x^2 = 1600\]

\[55x^2 = 1600\]

Теперь найдем \(x\):

\[x^2 = \frac{1600}{55}\]

\[x^2 ≈ 29.09\]

\[x ≈ \sqrt{29.09}\]

\[x ≈ 5.4\]

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), можем найти основание большего равнобедренного треугольника:

\(3x ≈ 3 \cdot 5.4 ≈ 16.2\)

А также основание меньшего равнобедренного треугольника:

\(4x ≈ 4 \cdot 5.4 ≈ 21.6\)

Имея основания, мы можем найти полупериметр треугольника \(s = \frac{16.2 + 21.6 + 20}{2} = \frac{57.8}{2} = 28.9\).

Теперь найдем радиус вписанной окружности через формулу радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника:

\[r = \frac{\text{Площадь треугольника}}{\text{Полупериметр треугольника}}\]

Площадь равнобедренного треугольника:

\[S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\]

где \(a, b, c\) - стороны треугольника.

Подставим известные значения:

\[S = \sqrt{28.9 \cdot (28.9 - 16.2) \cdot (28.9 - 21.6) \cdot (28.9 - 20)}\]

\[S = \sqrt{28.9 \cdot 12.7 \cdot 7.3 \cdot 8.9}\]

\[S ≈ \sqrt{25861.679}\]

\[S ≈ 160.82\]

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{160.82}{28.9}\]

\[r ≈ 5.56\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника равен приблизительно 5.56.