Question

В треугольнике ABC AC=BC,высота AH равна 8,угол C равен 30 градусам,найдите AC.

Answer 1

Так как угол СНА=90(по свойству высот) а угол С=30(по условию),то по теореме о угле в 30 градусов в прямоугольном треугольнике мы можем сказать что АН в 2 раза меньше АС,а так как АН=8,то АС=16.

Непонял для чего здесь даётся равнобедренный треугольник,тут можно всё проще решить.

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника ABC следующим образом:

- \(AC\) и \(BC\) - катеты (поскольку треугольник прямоугольный), - \(AB\) - гипотенуза.

Также у нас есть высота \(AH\), проведенная к гипотенузе из вершины угла \(C\), и угол \(C\) равен 30 градусам.

Из условия задачи известно, что \(AC = BC\), а также угол \(C\) равен 30 градусам. Это позволяет нам рассмотреть треугольник как равнобедренный.

Таким образом, у нас есть:

\[ \begin{align*} &AC = BC, \\ &\angle ACB = \angle ABC. \end{align*} \]

Теперь мы знаем, что угол \(ABC\) тоже равен 30 градусам. Таким образом, у нас есть правильный треугольник ABC с углом в 30 градусов.

Теперь давайте рассмотрим правильный треугольник \(AHB\). У нас есть высота \(AH\), и мы знаем угол \(B\) (равный 30 градусам), поэтому мы можем использовать тригонометрические функции.

Так как угол \(B\) в треугольнике \(AHB\) равен 30 градусам, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса:

\[ \tan(B) = \frac{AH}{AB}. \]

Мы знаем, что \(AH = 8\), и \(B = 30^\circ\), поэтому:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{8}{AB}. \]

Тангенс 30 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{AB}. \]

Теперь мы можем найти \(AB\):

\[ AB = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}. \]

Чтобы избавиться от знаменателя в знаменателе, умножим и делитель и делим на \(\sqrt{3}\):

\[ AB = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{3} = 8 \cdot \sqrt{3}. \]

Таким образом, длина гипотенузы \(AB\) равна \(8 \cdot \sqrt{3}\). Так как \(AC = BC\), то \(AC\) также равна \(8 \cdot \sqrt{3}\).