Question

Окружности радиусов 3 и 9 с центрами О1 и О2 соответственно касаются в точкеА. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую - в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если угол ABO1=30°.

Answer 1

13,5√3 и 27√3 

Насчет второго не уверен. Решал вчера, по моему путаю. но 1й был точно.

 

 

Answer 2

Дано: - Радиус меньшей окружности, r1 = 3 - Радиус большей окружности, r2 = 9 - Центр меньшей окружности, O1 - Центр большей окружности, O2 - Точка касания окружностей, A - Точка пересечения прямой через A и меньшей окружности, B - Точка пересечения прямой через A и большей окружности, C - Угол ABO1 = 30°

Найдем координаты точек O1, O2, A, B и C.

Так как окружности касаются в точке A, то радиусы окружностей O1 и O2 представляют собой высоты треугольника O1AO2, опущенные на основание AO1 и AO2 соответственно. Таким образом, можно найти координаты точек O1 и O2.

Пусть центр меньшей окружности O1 имеет координаты (x1, y1), а центр большей окружности O2 имеет координаты (x2, y2).

Координаты точки A можно найти путем прибавления радиуса меньшей окружности к координатам центра O1: A(x1, y1 + r1) = A(x1, y1 + 3)

Координаты точки B можно найти путем пересечения прямой AB с меньшей окружностью O1. Так как угол ABO1 = 30°, то координата B(x1 + r1*cos(30°), y1 + r1*sin(30°)). В данном случае, угол ABO1 = 30°, поэтому B(x1 + 3*cos(30°), y1 + 3*sin(30°)).

Координаты точки C можно найти путем пересечения прямой AC с большей окружностью O2. Так как угол ABO1 = 30°, то угол ACO2 = 180° - 30° = 150°. Радиус большей окружности равен 9, поэтому C(x2 + 9*cos(150°), y2 + 9*sin(150°)).

Найдем площадь треугольника BCO2.

Теперь, когда у нас есть координаты точек B, C и O2, мы можем найти площадь треугольника BCO2.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины его сторон.

В данном случае, стороны треугольника BCO2 это |BC|, |BO2| и |CO2|. Длины этих сторон можно найти с помощью расстояния между точками формулой расстояния между двумя точками:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Таким образом, длины сторон треугольника BCO2 можно найти следующим образом:

|BC| = d(B, C) = sqrt((x2 - (x1 + 3*cos(30°)))^2 + (y2 - (y1 + 3*sin(30°)))^2)

|BO2| = d(B, O2) = sqrt((x2 - (x1 + 3*cos(30°)))^2 + (y2 - (y1 + 3*sin(30°)))^2)

|CO2| = d(C, O2) = sqrt((x2 - (x2 + 9*cos(150°)))^2 + (y2 - (y2 + 9*sin(150°)))^2)

Подставив значения координат и вычислив длины сторон, мы можем найти площадь треугольника BCO2 по формуле Герона.