Question

Решите задачи. 1)Сторона треугольника равна 12 см,а высота,проведённая к ней,в три раза меньше сторона. Найдите площадь треугольника. 2)Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см,а гипотенуза 13 см. Найдите катет и площадь треугольника. 3)Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр. 4)В прямоугольном треугольнике ABCD большая боковая сторона равна 8 см,угол A равен 60 градусов,а высота BH делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

1) Площадь равна 1/2 высоты на сторону. высота 12, а сторона 12\3=4
S= 12*4/2=24
2) По т. Пифагора катет = 13^2-12^2=5
S=1\2*5*12=30
3) cторона в кв= 25+36=81 стор =9 Р=4*9=36 S=10*12=120
4) Там наверное прям. трап, а не треуг. S тр= полусумме осн на высоту. Рассм прям треуг с углом А=60 выс. ВК  в этом треуг. угол АВК= 30 , а гипот 8 по условию. Катет лежащий напротив угла в 30 градусов раван 1\2 гип. = 4. значит большее осн.=8, а маленькое 4. найдем выс по Пифагору ВК в кв 64-16=48 а ВК 4корней из 3. теперь подставить в формулу S трап.=(4+8)/2*4корней из 3=24 корн из 3

Answer 2

1) Пусть сторона треугольника равна \(a\) см. Тогда высота, проведенная к этой стороне, равна \(h = \frac{a}{3}\) см.

Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Подставим значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{12}{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \, \text{см}^2.\]

2) Пусть один из катетов равен \(a = 12\) см, а гипотенуза равна \(c = 13\) см. Тогда второй катет можно найти с использованием теоремы Пифагора: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\) см.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, используем формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \, \text{см}^2.\]

3) Диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Таким образом, каждая диагональ делится пополам высотой ромба. Пусть \(d_1 = 10\) см и \(d_2 = 12\) см - диагонали ромба, \(h\) - высота.

Высоту можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном половиной одной диагонали, половиной второй диагонали и высотой:

\[h = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \, \text{см}.\]

Теперь площадь ромба можно найти по формуле \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\):

\[S = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \, \text{см}^2.\]

Периметр ромба равен сумме всех его сторон. Так как все стороны ромба равны, периметр можно найти как \(P = 4 \cdot a\), где \(a\) - длина любой стороны:

\[P = 4 \cdot 10 = 40 \, \text{см}.\]

4) В прямоугольном треугольнике \(ABCD\), где \(AB\) - большая боковая сторона равна 8 см, угол \(A\) равен 60 градусов, и высота \(BH\) делит основание \(AD\) пополам.

Из угла \(A = 60^\circ\) следует, что треугольник является равносторонним, и все его углы равны 60 градусов. Таким образом, угол \(C\) также равен 60 градусов, и треугольник равнобедренный.

Так как \(BH\) делит основание \(AD\) пополам, то \(AH = HD\). Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника: \(ABH\) и \(CDH\).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину \(AC\) (гипотенуза в треугольнике \(ABH\)):

\[AC = \sqrt{AB^2 + BH^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \, \text{см}.\]

Теперь мы можем найти площадь трапеции. Площадь трапеции можно выразить как:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (AC + BD) \cdot h,\]

где \(h\) - высота трапеции. В нашем случае, \(BD = 8\) см (основание меньшее боковой стороны).

Так как \(AC = 4\sqrt{5}\), то:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{5} + 8) \cdot h.\]

Осталось найти высоту \(h\). Так как \(BH\) делит основание \(AD\) пополам, \(h\) равна половине боковой стороны треугольника \(CDH\). Из прямоугольного треугольника \(CDH\) мы можем использовать теорему Пифагора:

\[h = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8 \, \text{см}.\]

Теперь можем подставить значения в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{5} + 8) \cdot 8 = (2\sqrt{5} + 4) \cdot 8 = 16\sqrt{5} + 32 \