Question

Пусть ABC — равносторонний треугольник, радиус описанной окружности которого равен 1, M — точка, которая делит дугу AC этой окружности в отношении 1:2014 считая от вершины A. Найдите MA^2+MB^2+MC^2.

Answer 1

Геометрический способ:
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический способ:
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.

Answer 2

Для начала, давайте построим равносторонний треугольник ABC с радиусом описанной окружности, равным 1.

Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника ABC как a.

Нахождение длины стороны треугольника ABC

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Таким образом, мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины стороны треугольника.

Теорема синусов гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, верно следующее уравнение:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

В нашем случае у нас равносторонний треугольник, поэтому все углы равны 60 градусов. Таким образом, у нас есть:

a / sin(60) = a / √3

Так как все стороны треугольника равны, мы можем заменить a на b или c в уравнении и получить:

b / √3 = a / √3

Теперь мы можем умножить обе части уравнения на √3 и получить:

b = a
c = a

Таким образом, все стороны треугольника ABC равны и имеют длину a.

Нахождение длины дуги AC

Дуга AC делится точкой M в отношении 1:2014, считая от вершины A. Это означает, что длина дуги AM составляет 1/2015 от длины дуги AC, а длина дуги MC составляет 2014/2015 от длины дуги AC.

Так как радиус описанной окружности равен 1, длина окружности равна 2π. Таким образом, длина дуги AC равна 2π.

Теперь мы можем найти длины дуг AM и MC:

Длина дуги AM = (1/2015) * 2π
Длина дуги MC = (2014/2015) * 2π

Нахождение MA^2, MB^2 и MC^2

Так как радиус описанной окружности равен 1, длина отрезка AM равна радиусу окружности, то есть 1. То же самое относится и к отрезкам MB и MC.

Теперь мы можем найти MA^2, MB^2 и MC^2, используя теорему Пифагора:

MA^2 = AM^2 + AM^2 = 1^2 + 1^2 = 2
MB^2 = BM^2 + AM^2 = 1^2 + 1^2 = 2
MC^2 = CM^2 + AM^2 = 1^2 + 1^2 = 2

Таким образом, MA^2, MB^2 и MC^2 равны 2.