Question

У прямокутному трикутнику гіпотенуза AB дорівнює 8 см, кут B дорівнює 60°. Знайдіть катет AC

Answer 1

В прямоугольном треугольнике ABC:
∠C =90°
∠B = 60°
∠A = 180 - 90 - 60 = 30 (°)
Катет BC, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
BC = AB / 2
BC = 8/2 = 4 (cм)
По теореме Пифагора:
AB² = BC² + AC²
8² = 4² + AC²
AC² = 64 - 16
AC² = 48
AC = √48
AC = 4√3 (см)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Косинусом угла А является отношение прилежащего к нему катета AC к гипотенузе AB.
cos A = AC / AB
cos 30° = √3 / 2
AC / 8 = √3 / 2
2AC = 8√3
AC = 4√3 (cм)
----------------------------------------------------------------------------------------------
Синусом угла B Является отношение противолежащего ему катета АС к гипотенузе АВ.
sin B = AC / AB
sin 60° = √3 / 2
AC / 8 = √3 / 2
2AC = 8√3
AC = 4√3 (cм)
-----------------------------------------------------------------------------------------------

Answer 2

У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 90 градусів, а інший кут може бути 30, 60 або 45 градусів, оскільки сума всіх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусів.

У даному випадку ми маємо прямокутний трикутник ABC, де кут B дорівнює 60 градусів. Гіпотенуза позначена як AB і дорівнює 8 см. Треба знайти катет AC.

Ми можемо використовувати тригонометричні функції для вирішення цього завдання. У прямокутному трикутнику відомі гіпотенуза (AB) і кут B, тому ми можемо скористатися тангенсом кута B.

Тангенс кута B визначається як відношення протилежного катету до прилеглого катету:

\[ \tan(B) = \frac{AC}{BC} \]

У нашому випадку, протилежний кут B - це AC, прилеглий кут B - це BC. Ми знаємо гіпотенузу AB (8 см) і кут B (60 градусів).

Тангенс 60 градусів дорівнює \(\sqrt{3}\), тому ми можемо записати рівняння:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{AC}{BC} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{AC}{BC} \]

Тепер нам треба визначити BC. Використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ 8^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ 64 = AC^2 + BC^2 \]

Тепер можемо визначити BC:

\[ BC = \sqrt{64 - AC^2} \]

Підставимо це значення у рівняння тангенсу:

\[ \sqrt{3} = \frac{AC}{\sqrt{64 - AC^2}} \]

Помножимо обидві сторони на \(\sqrt{64 - AC^2}\):

\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{64 - AC^2} = AC \]

Піднятимо обидві сторони в квадрат:

\[ 3 \cdot (64 - AC^2) = AC^2 \]

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[ 192 - 3AC^2 = AC^2 \]

\[ 4AC^2 = 192 \]

\[ AC^2 = 48 \]

\[ AC = \sqrt{48} \]

\[ AC = 4\sqrt{3} \]

Отже, катет AC дорівнює \(4\sqrt{3}\) см.