Question

В правильной треугольной пирамиде sabc медианы основания пересекаются в точке K. Объем пирамиды равен 42, KS=18. Найдите площадь треугольника ABC

Answer 1

 Точка пересечения медиан является точка пересечения радиуса описанной и вписанной окружности .  $V=\frac{SH}{3}=42\\ SH=126$ 
$KS=H$ то есть высота , тогда $S=\frac{126}{18}=7$   Ответ 7 

Answer 2

Давайте обозначим вершины треугольной пирамиды SABC как S (вершина), A, B и C (основание). Мы знаем, что медианы основания пересекаются в точке K.

Так как треугольная пирамида SABC правильная, то ее боковые грани также являются равнобедренными треугольниками, а медианы основания пересекаются в точке K.

Мы также знаем, что объем пирамиды равен 42 и KS (медиана) равна 18.

Объем пирамиды можно выразить следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h, \]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Мы также можем выразить площадь основания через стороны треугольника ABC и медиану KS:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}, \]

где \(a, b, c\) - стороны треугольника, а \(s\) - полупериметр треугольника.

Теперь давайте найдем площадь треугольника ABC. Мы знаем, что медианы пересекаются в точке K, и KS является медианой, то есть делит медианы пополам. Таким образом, AK = KB.

Теперь мы можем записать выражение для полупериметра треугольника ABC:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2a + 2b}{2} = a + b. \]

Теперь подставим это в формулу для площади основания:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]

\[ = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{(a + b) \cdot [(a + b) - a] \cdot [(a + b) - b] \cdot [(a + b) - c]} \]

\[ = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)}. \]

Теперь у нас есть выражение для площади основания в терминах сторон треугольника.

Теперь мы можем записать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

\[ 42 = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)} \right) \cdot h. \]

Упростим это уравнение, умножив обе стороны на \(\frac{3}{4}\):

\[ 42 \cdot \frac{3}{4} = \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)} \cdot h. \]

\[ 31.5 = \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)} \cdot h. \]

Теперь мы знаем, что \(h = 18\):

\[ 31.5 = \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)} \cdot 18. \]

Теперь можно решить это уравнение относительно сторон треугольника. Однако, чтобы избежать излишних вычислений, давайте заметим, что 31.5 является утроенной половиной объема пирамиды:

\[ 31.5 = \frac{3}{2} \cdot 42. \]

Теперь мы можем использовать это для упрощения уравнения:

\[ \frac{3}{2} \cdot 42 = \sqrt{(a + b) \cdot b \cdot a \cdot (a + b - c)} \cdot 18. \]

Решив это уравнение, мы можем найти значения сторон треугольника.

Однако, так как это довольно сложное уравнение, я предлагаю воспользоваться программой для символьных вычислений, такой как SymPy в Python, чтобы численно решить его и найти значения сторон треугольника ABC.