Question

В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.Докажите, что S четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

Answer 1

Обозначим части диагоналей буквами a, b, c, d как показано на рисунке. Общая площадь фигуры будет складываться из площадей четырех прямоугольных треугольников. 
$S=S_1+S_2+S_3+S_4 \\ S_1= \frac{da}{2} \\ S_2= \frac{db}{2} \\ S_3= \frac{bc}{2} \\ S_4= \frac{ac}{2} \\ S= \frac{da}{2} +\frac{db}{2} +\frac{bc}{2} + \frac{ac}{2}= \frac{1}{2} (da+db+bc+ac)= \\ =\frac{1}{2} (a(d+c)+b(d+c))=\frac{1}{2} (a+b)(d+c)$
ч.т.д.

Answer 2

Доказательство того, что в выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о прямоугольнике, которая гласит: "Если в четырехугольнике все его стороны равны попарно между собой и диагонали являются взаимно перпендикулярными, то этот четырехугольник является прямоугольником."

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, в котором диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

Доказательство:

Шаг 1: Докажем, что треугольники ABC и CDA являются прямоугольными.

Поскольку диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, то угол ACD прямой угол. Также, поскольку ABCD - выпуклый четырехугольник, то сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов. Следовательно, угол ABC также является прямым углом. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

Аналогично, доказывается, что треугольник CDA также является прямоугольным.

Шаг 2: Докажем, что ABCD - прямоугольник.

Поскольку треугольники ABC и CDA являются прямоугольными, то угол BAC и угол CAD являются прямыми углами. Следовательно, сумма углов треугольника BAC равна 180 градусов, и угол BAC равен 90 градусов. Аналогично, угол CAD также равен 90 градусов.

Таким образом, ABCD является прямоугольником.

Доказательство того, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей

Пусть ABCD - прямоугольник, в котором AC и BD - диагонали.

Доказательство:

Шаг 1: Докажем, что площадь треугольника ABC равна половине произведения длин его сторон AB и BC.

Площадь треугольника ABC можно выразить как S_ABC = (1/2) * AB * BC * sin(ABC), где ABC - угол между сторонами AB и BC.

В прямоугольнике ABCD угол ABC равен 90 градусов, следовательно, sin(ABC) = 1.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна S_ABC = (1/2) * AB * BC.

Шаг 2: Докажем, что площадь прямоугольника ABCD равна половине произведения длин его диагоналей AC и BD.

Площадь прямоугольника ABCD можно выразить как S_ABCD = AB * BC = 2 * (1/2) * AB * BC = 2 * S_ABC.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна S_ABCD = 2 * S_ABC = 2 * (1/2) * AB * BC = AB * BC = AC * BD.

Следовательно, площадь прямоугольника ABCD равна половине произведения его диагоналей AC и BD.

Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей в случае, когда диагонали взаимно перпендикулярны и четырехугольник является прямоугольником.