Question

Здравствуйте Уважаемые пользователи!Прошу вас помочь с решением задачи:В треугольнике ABC угол C прямой BC=3, AC=4. Проведены биссектрисы CD и медиана AM. Найдите площадь CEM. AM пересекается с CD в точке E.(Для решения применить: свойство биссектрисы, теорему Менелая и формулу для нахождения биссектрисы CD)Заранее Спасибо!

Answer 1

S abc = AC * CB /2 = 4 * 3 /2 = 12/2 = 6 
S acm = Sabc/2 = 6/2 = 3 (медиана треугольника делит его на два равновеликих)
СМ = СВ/2 = 3/2 = 1,5 (СВ - медиана)
АЕ/ ЕМ = АС/СМ = 4/1,5 = 8/3 (биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилегающих сторон)
Scae/Secm = AE/EM = 8/3 
значит Scae составляет 8 частей от Sacm, а Scem составляет остальные 3 части от Scam
всего тогда 8 + 3 = 11 частей
S cem = 3/11* Sacm = 3/11 * 3 = 9/11

Answer 2

Дано: - \(ABC\) — треугольник, где \(\angle C\) прямой и \(BC = 3, AC = 4\). - Проведены биссектрисы \(CD\) и медиана \(AM\), где \(AM\) пересекается с \(CD\) в точке \(E\).

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрисы, теорему Менелая и формулу для нахождения биссектрисы \(CD\).

Сначала найдем длину биссектрисы \(CD\). Мы знаем, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении смежных сторон треугольника. Таким образом, используя формулу для биссектрисы, имеем:

\[CD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + BC}\]

Зная, что \(AC = 4\) и \(BC = 3\), мы можем найти длину \(AB\). Так как угол \(C\) прямой, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[4^2 = AB^2 + 3^2\] \[16 = AB^2 + 9\] \[AB^2 = 16 - 9\] \[AB^2 = 7\] \[AB = \sqrt{7}\]

Теперь подставим значения \(AC\), \(BC\) и \(AB\) в формулу для \(CD\):

\[CD = \frac{2 \cdot \sqrt{7} \cdot 4}{\sqrt{7} + 3}\]

Далее, чтобы найти площадь треугольника \(CEM\), нужно найти высоту треугольника \(CEM\) из вершины \(C\) до \(EM\). Заметим, что \(AM\) является медианой треугольника \(ABC\), таким образом, \(EM\) является половиной биссектрисы \(CD\), то есть \(EM = \frac{1}{2} \cdot CD\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника \(CEM\):

\[S_{CEM} = \frac{1}{2} \cdot EM \cdot CD\] \[S_{CEM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CD\] \[S_{CEM} = \frac{1}{4} \cdot CD^2\]

Теперь, подставим найденное значение для \(CD\) в формулу для площади треугольника \(CEM\):

\[S_{CEM} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2 \cdot \sqrt{7} \cdot 4}{\sqrt{7} + 3}\right)^2\]

После выполнения вычислений получим значение площади треугольника \(CEM\).