Question

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку M (1;-3;-5) и перпендикулярно вектору n>(7;-5;-4) проверить принадлежат ли этой плоскости точка A (-1:0;-0)

Answer 1

Общее уравнение плоскости Ax+  By  + Cz   + D=0
M принадлежит плоскости → A-3B-5C+D=0 
Нормальный вектор дает   n=(A;B;C)=(7;-5;-4)→ A=7   B=-5   C=-4
D=-A+3B+5C=-7-15-20=-42

Уравнение плоскости  7x-5y-4z-42=0
точка (-1;0;0)  -7+0+0-42≠0  не принадлежит

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку M(1,-3,-5) и перпендикулярной вектору n(7,-5,-4), мы можем использовать уравнение плоскости в векторной форме:

n · (r - r₀) = 0

где n - вектор нормали плоскости, r - произвольная точка на плоскости, r₀ - точка, через которую проходит плоскость.

В данном случае, вектор нормали n(7,-5,-4) уже задан, и точка, через которую проходит плоскость, M(1,-3,-5), тоже известна. Подставим эти значения в уравнение:

(7,-5,-4) · (r - (1,-3,-5)) = 0

Выполняем вычисления:

7(r₁ - 1) - 5(r₂ + 3) - 4(r₃ + 5) = 0

Раскрываем скобки:

7r₁ - 7 - 5r₂ - 15 - 4r₃ - 20 = 0

Сокращаем:

7r₁ - 5r₂ - 4r₃ - 42 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,-3,-5) и перпендикулярной вектору n(7,-5,-4), имеет вид:

7x - 5y - 4z - 42 = 0

Теперь проверим, принадлежит ли точка A(-1,0,0) этой плоскости. Для этого подставим координаты точки A в уравнение плоскости и проверим, выполняется ли