Question

Сфера заданная уравнением x'2+y'2+(z-1)'2=4 пересекает оси координат в точках А,Ви С А-точка пересечения с осью Ох, В- с осью Оу, а С- с осью Оz (координаты положительны) Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью z=0

Answer 1

Строим координатну систему ОХУZ
К-центр сферы лежит на оси Z К(0;0;1)эот из заданного уравнения.
Отмечаем точки А(х;0;0;) ;  В(0;у;0); С(0;0;1+2)  С(0;0;3)
                                                                  1-это 3-ья координата центра
                                                                  2-радиус сферы (КС)
тр-к АКО=тр-ку ВКО(АК=ВК=радиусу;ОК-общая; они прямоугольные!)
АО=ВО=х; А(х;0;0),  В(0;х;0); КВ=КС-радиусы. КB^2=(0-0)^2+(x-0)^2+(0-1)^2=x^2 +1;   KC^2=(0-0)^2+(0-0)^2+(3-1)^2=4;  x^2+1=4; x=√3
A(√3;0;0);  B(0;√3;0)
 АС=ВС(наклонные равных проекцииАК И ВК); треуг АВС-равнобедренный;проведем CM-медиана, высота, биссектриса тр-ка АВС
М  -середина АВ
М((√3+0)/2; (0+√3)/2; 0); М(√3/2;√3/2;0)
КМ перпендикулярна АВ(по теореме о трех перпендикулярах)
угол СМО-искомый!!!
Вектор МС (3-√3/2;0+√3/2; 3-0)
вектор МО ((0-√3/2; 0-√3/2; 0)
|MC|=(3-√3/2)^2+(√3/2)^2+9=9-3√3+3/4+3/4+9=18,75-3√3
|MO|=(√3/2)^2 +√3/2)^2=3/4+3/4=6/4=1,5
cosCMO=(MC*MO)/(|MC|*|MO|  это векторы!
MC*MO=(3-√3/2)*(-√3/2) +√3/2 *(-√3/2)+3*0=-1,5√3+3/4-3/4=-1,5√3
cosCMO=(-1,5√3) /(18,75-3√3)* 1,5=-√3/(     )Где-то ошибка с координатами! Но решать надо так! Проверьте

Answer 2

Для начала, давайте найдем точки пересечения с осями координат.

При пересечении с осью Ox, координаты точки будут (x, 0, 0). Подставим это в уравнение сферы:

x^2 + 0^2 + (0-1)^2 = 4

x^2 + 1 = 4

x^2 = 3

x = ±√3

Таким образом, точка А будет иметь координаты (±√3, 0, 0).

Аналогично, для точки В, координаты будут (0, y, 0):

0^2 + y^2 + (0-1)^2 = 4

y^2 + 1 = 4

y^2 = 3

y = ±√3

Точка В будет иметь координаты (0, ±√3, 0).

Наконец, для точки С, координаты будут (0, 0, z):

0^2 + 0^2 + (z-1)^2 = 4

(z-1)^2 = 4

z-1 = ±2

z = 1±2

Точка С будет иметь координаты (0, 0, 1±2).

Теперь найдем векторы AB и AC:

Вектор AB = (±√3 - 0, ±√3 - 0, 0 - 0) = (±√3, ±√3, 0)

Вектор AC = (0 - 0, 0 - 0, 1±2 - 0) = (0, 0, 1±2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB · AC = (±√3)(0) + (±√3)(0) + (0)(1±2) = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, значит, векторы AB и AC ортогональны. Это означает, что плоскость АВС параллельна плоскости z=0.

Таким образом, угол между плоскостью АВС и плоскостью z=0 равен 90 градусов или π/2 радиан.