Question

Треугольник ABC задан координатами его вершин: A(-1;1), B(0;2), C(1;1). Найдите внешний угол при вершине А.

Answer 1

Чертеж во вложении.
1) $AB= \sqrt{(-1-0)^2+(1-2)^2}= \sqrt{2}$
    $BC= \sqrt{(0-1)^2+(2-1)^2}= \sqrt{2}$
Значит, АВ=ВС, т.е. треугольник АВС равнобедренный.
2) т. В на оси Оу, значит треугольник АВО -прямоугольный. угол АВО=45 (угол А= углу С).
3) тогда внешний угол при вершине А равен 180-45= 135.
Ответ: 135.

Answer 2

Внешний угол при вершине A треугольника ABC равен разности смежных с ним внутренних углов при вершинах B и C. Для нахождения этих углов можно использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

$$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - векторы, образующие угол $\alpha$, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - их длины.

В данном случае, можно взять векторы $\vec{AB} = (0 - (-1); 2 - 1) = (1; 1)$ и $\vec{AC} = (1 - (-1); 1 - 1) = (2; 0)$ для угла BAC, и векторы $\vec{BA} = (-1 - 0; 1 - 2) = (-1; -1)$ и $\vec{BC} = (1 - 0; 1 - 2) = (1; -1)$ для угла ABC. Тогда:

$$\cos BAC = \frac{(1; 1) \cdot (2; 0)}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\cos ABC = \frac{(-1; -1) \cdot (1; -1)}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

Отсюда, углы BAC и ABC равны:

$$BAC = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 45^{\circ}$$

$$ABC = \arccos \frac{1}{2} = 60^{\circ}$$

Тогда внешний угол при вершине A равен:

$$A_{ext} = ABC - BAC = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$$

Ниже приведена иллюстрация треугольника ABC с указанными углами: