Question

ребро куба равно а.Точка О-пересечения диагонали грани АА1ДД1. ОС1=х?

Answer 1

Ребро D₁C₁ перпендикулярно плоскости (AA₁D₁), значит оно перпендикулярно прямой OD₁, лежащей в этой плоскости.

ΔOD₁C₁: ∠OD₁C₁ = 90°, D₁C₁ = а, D₁О = а√2/2 (как половина диагонали квадрата)
По теореме Пифагора:
C₁O = √(OD₁² + D₁C₁²) = √((a√2/2)² + a²) = √(6a²/4) = a√6/2

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть \(A, B, C, D\) - вершины куба, причем \(ABCD\) - основание, \(A_1, B_1, C_1, D_1\) - соответственно вершины противоположной грани. Также, пусть \(O\) - центр куба, а \(S_1\) - середина ребра \(AB\).

Так как мы говорим о кубе, все его грани квадраты, а диагонали квадрата равны между собой и делят квадрат на два равных треугольника. Поэтому диагонали грани \(ABCD\) равны между собой и пересекаются в точке \(O\).

Теперь, рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как \(S_1\) - середина ребра \(AB\), то \(OS_1\) - медиана треугольника \(ABC\). Медиана в треугольнике делит сторону пополам, поэтому \(AS_1 = S_1B\). Также, в треугольнике \(ABC\) диагональ \(AC\) - это гипотенуза, и мы знаем, что \(AO\) - медиана, поэтому \(AO = OC\).

Теперь мы имеем равенство трех отрезков: \(AS_1 = S_1B\), \(AO = OC\) и, так как это куб, то все ребра равны между собой, то есть \(AB = BC = CD = DA\).

Таким образом, можно записать уравнение:

\[AS_1 + S_1O = S_1B + BO\]

После подстановки равенств, это уравнение становится:

\[AS_1 + AO = S_1B + OC\]

Так как \(AO = OC\) и \(AS_1 = S_1B\), мы можем упростить это до:

\[2 \cdot AO = 2 \cdot OC\]

Сокращаем на 2:

\[AO = OC\]

Таким образом, \(OS_1\) действительно равно половине длины диагонали грани \(ABCD\), и точка \(O\) - пересечение диагонали грани \(ABCD\) в точке \(O\).