Question

В треугольнике длины двух сторон равны 6 и 3. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте.

Answer 1

Обозначим высоту, проведенную к стороне, равной 6, а,
высоту, проведенную к стороне, равной 3, b,
высоту проведенную к третьей стороне с,
а саму третью сторону х.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту.
S = 6a/2 = 3b/2 = xc/2
Отсюда b = 2a.
По условию (a + b)/2 = c
3a/2 = c

x = 6a/c = 6a/(3a/2) = 4

Answer 2

Пусть \( a \) и \( b \) - длины двух сторон треугольника, которые равны 6 и 3 соответственно. Также, пусть \( h_1 \) и \( h_2 \) - высоты, проведенные к этим сторонам, и \( h_3 \) - третья высота. По условию, полусумма \( h_1 \) и \( h_2 \) равна \( h_3 \). Обозначим это следующим образом:

\[ \frac{1}{2}(h_1 + h_2) = h_3 \]

Теперь давайте воспользуемся формулой площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 \]

Так как площадь треугольника одна и та же, независимо от того, какую сторону и высоту мы выберем, то мы можем утверждать, что:

\[ a \cdot h_1 = b \cdot h_2 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( \frac{1}{2}(h_1 + h_2) = h_3 \) 2. \( a \cdot h_1 = b \cdot h_2 \)

Заменим \( h_2 \) из второго уравнения в первое уравнение:

\[ \frac{1}{2}(h_1 + \frac{a}{b} \cdot h_1) = h_3 \]

Решим это уравнение относительно \( h_1 \) и \( h_3 \). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ h_1 + \frac{a}{b} \cdot h_1 = 2 \cdot h_3 \]

Объединим члены с \( h_1 \) и выразим \( h_1 \):

\[ h_1 \cdot (1 + \frac{a}{b}) = 2 \cdot h_3 \]

\[ h_1 = \frac{2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} \]

Теперь, мы можем выразить \( h_2 \) через \( h_1 \):

\[ h_2 = \frac{a}{b} \cdot h_1 \]

Подставим \( h_1 \) в это уравнение:

\[ h_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} \]

Теперь мы знаем, что:

\[ \frac{1}{2}(h_1 + h_2) = h_3 \]

Подставим значения \( h_1 \) и \( h_2 \):

\[ \frac{1}{2}\left(\frac{2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} + \frac{a}{b} \cdot \frac{2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}}\right) = h_3 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot h_3 + \frac{a}{b} \cdot 2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} = h_3 \]

Сократим на 2 и умножим обе стороны на \( 1 + \frac{a}{b} \):

\[ \frac{2 \cdot h_3 + \frac{a}{b} \cdot 2 \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} = 2 \cdot h_3 \]

Упростим:

\[ \frac{2 \cdot h_3 + \frac{2a}{b} \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} = 2 \cdot h_3 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{2 \cdot h_3 + \frac{2a}{b} \cdot h_3}{1 + \frac{a}{b}} = \frac{2 \cdot h_3 + \frac{2a}{b} \cdot h_3}{\frac{b + a}{b}} \]

Сократим:

\[ \frac{2 \cdot h_3 + 2a \cdot h_3}{b + a} = \frac{2h_3(1 + a)}{a + b} \]

Теперь мы имеем:

\[ \frac{2h_3(1 + a)}{a + b} = 2 \cdot h_3 \]

Сократим на \(2h_3\):

\[ \frac{1 + a}{a + b} = 1 \]

Умножим обе стороны на \(a + b\):

\[ 1 + a = a + b \]

Выразим \(b\):

\[ b = 1 \]

Таким образом, третья сторона равна 1.