Question

Катет AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90±) разбит точками D и E на три равные части. Площадь треугольника BDE равна 3. Точка F – середина катета BC. Найдите площадь треугольника ABF

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90 Площадь ВДЕ=3
Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники. Треугольник АВЕ, где ВД-медиана (АД=ДЕ), площадьВДЕ=площадьАВД=3, треугольникВДС, где ВЕ-медиана, площадьВДЕ=площадьВЕС=3, Площадь АВС=3+3+3=9
АФ-медиана треугольника АВС, площадьАФС=площадьАВФ =9/2=4,5

Answer 2

Можно так, по условию AD=DE=EC=x , и CF=FB=y
выразим площадь BED через синус и стороны BD и  ЕВ
По теореме  Пифагора 
$EB=\sqrt{x^2+4y^2}\\ DB=\sqrt{4x^2+4y^2}$
синус угла между ними по теореме косинусов, затем переведем на синус получим 
$sinBDE=\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=\\ S_{BED}=\sqrt{(x^2+y^2)*(x^2+4y^2)}*\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=xy\\ xy=3$
то есть после упрощения получили такое соотношение , по свойству медиана  делить треугольник на два равновеликих треугольника 
$S_{AFC}=S_{ABF}\\ S_{AFC}=\frac{3x*\frac{3}{x}}{2}=4.5\\ S_{ABF}=4.5$

Answer 3

Дано, что катет AC прямоугольного треугольника ABC (угол C = 90°) разбит точками D и E на три равные части. Площадь треугольника BDE равна 3. Точка F – середина катета BC.

Чтобы найти площадь треугольника ABF, сначала найдем площадь треугольника ABC.

Так как точки D и E делят катет AC на три равные части, то AD = DE = EC = x, где x – длина каждого из этих отрезков.

Также, так как F – середина катета BC, то BF = FC = x.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения длин его катетов:

S(ABC) = (1/2) * AC * BC

Так как F – середина катета BC, то BC = 2 * BF = 2 * x.

S(ABC) = (1/2) * AC * 2 * x = AC * x

Теперь найдем площадь треугольника BDE. Так как треугольник BDE – прямоугольный (угол BDE = 90°), его площадь можно найти как половину произведения длин его катетов:

S(BDE) = (1/2) * BD * DE = (1/2) * x * x = (1/2) * x^2 = 3

Теперь найдем площадь треугольника ABF. Так как треугольник ABF – прямоугольный (угол BAF = 90°), его площадь можно найти как половину произведения длин его катетов:

S(ABF) = (1/2) * AB * BF

Так как точки D и E делят катет AC на три равные части, то AB = 2 * AD = 2 * x.

S(ABF) = (1/2) * 2 * x * x = x^2

Таким образом, площадь треугольника ABF равна x^2.

Так как площадь треугольника BDE равна 3, то x^2 = 3.

Ответ: Площадь треугольника ABF равна 3.