Question

Биссектриса большого острого угла прямоугольного треугольника делит перпендикуляр, проведенный с вершины прямого угла на отрезки 30 и 18 см, начиная от вершины прямого угла. Обчислите длину отрезков, на которые делит гипотенузу этот перпендикуляр

Answer 1

Биссектриса большого острого угла прямоугольного треугольника делит перпендикуляр, проведенный с вершины прямого угла на отрезки 30 и 18 см, начиная от вершины прямого угла. Обчислите длину отрезков, на которые делит гипотенузу этот перпендикуляр

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть \( AC \) — гипотенуза прямоугольного треугольника \( ABC \), где \( \angle ABC \) — прямой угол. Пусть \( AD \) — высота, проведенная из вершины угла \( B \) (перпендикуляр к гипотенузе), а \( BD \) и \( CD \) — отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.

Теперь, по теореме о биссектрисе, мы знаем, что биссектриса угла \( B \) делит противоположную сторону \( AC \) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам \( AB \) и \( BC \).

Пусть \( BE \) — биссектриса угла \( B \), и пусть \( BE \) пересекает \( AC \) в точке \( E \). Тогда:

\[\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{BC}\]

Длина отрезка \( CE \) известна и равна 18 см, а длина отрезка \( AE + CE \) равна 30 см. Мы можем использовать эти данные для нахождения значений \( AE \) и \( CE \).

\[AE + CE = 30 \, \text{см}\] \[CE = 18 \, \text{см}\]

Теперь можем найти \( AE \):

\[AE = 30 - CE = 30 - 18 = 12 \, \text{см}\]

Теперь у нас есть значения \( AE \) и \( CE \). Мы знаем, что \( AC \) — гипотенуза, и мы можем использовать их для вычисления длин отрезков \( BD \) и \( CD \) по теореме Пифагора:

\[BD^2 + CD^2 = AC^2\]

Подставляем значения:

\[BD^2 + 18^2 = 30^2\]

Решаем уравнение:

\[BD^2 + 324 = 900\]

\[BD^2 = 576\]

\[BD = 24 \, \text{см}\]

Теперь мы знаем длину отрезка \( BD \). Для нахождения длины отрезка \( CD \), мы можем использовать факт, что сумма \( BD \) и \( CD \) равна длине отрезка \( AC \):

\[BD + CD = AC\]

\[24 + CD = 30\]

\[CD = 6 \, \text{см}\]

Таким образом, отрезки \( BD \) и \( CD \) равны 24 см и 6 см соответственно.