Question

Дан прямоугольный треугольник АВС. Гипотенуза равна 13. Вписанная в него окружность имеет радиус 2. Найти площадь треугольника.

Answer 1

c=13

r=2

радиус описанной окружности равен R=c/2

R=13/2=6.5

радиус вписанной окружности равен

r=(a+b-c)/2

 

(a+b-13)/2=2

a+b-13=4

a+b=17

 

a^2+b^2=c^2 - теорема Пифагора

 

a^2+2ab+b^2=17^2

c^2+2ab=289

13^2+2ab=189

169+2ab=289

2ab=289-169

2ab=120

ab=120/2

ab=60

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S=ab/2

S=60/2

S=30

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника, а также формулой для радиуса вписанной окружности.

По определению, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника, \( c \) - гипотенуза.

Также, площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.

Теперь мы можем использовать эти формулы для решения задачи. Сначала найдем катеты треугольника, затем найдем площадь треугольника.

1. Найдем катеты треугольника:

Для прямоугольного треугольника с гипотенузой \( c = 13 \) и радиусом вписанной окружности \( r = 2 \), можно воспользоваться формулой \( r = \frac{a + b - c}{2} \) для нахождения катетов. Подставим известные значения и найдем катеты:

\[ 2 = \frac{a + b - 13}{2} \] \[ 4 = a + b - 13 \] \[ a + b = 17 \]

2. Найдем площадь треугольника:

Теперь, когда мы знаем сумму катетов (\( a + b = 17 \)), можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим значение суммы катетов и найдем площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 9 \] \[ S = 36 \]

Ответ:

Площадь треугольника \( ABC \) равна 36.