Question

Докажите,что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон,к которым эти медианы проведены.

Answer 1

Решение. Пусть AB=c (рис.4),
AC=b , BC=a и  CМ=m .
Пусть F – точка пересечения
прямой СМ и прямой,
проходящей через А
параллельно прямой ВС.
Ясно, что треуголник MAF=треугольнику MBC (по
стороне с\2 и двум
прилежащим углам)Получили, что MF=MC=m и AF=BC=a .По неравенству треугольника для треугольника AFC имеем: a+b больше чем 2m или m меньше чем ((a+b)/2)

 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC и его медианы AD и BE, которые проведены к сторонам BC и AC соответственно.

Пусть c - сторона треугольника, к которой проведена медиана AD, а b - сторона треугольника, к которой проведена медиана BE.

Для начала заметим, что медиана треугольника делит сторону на две равные части. Поэтому можно записать, что BD = DC = c/2 и AE = EC = b/2.

Также воспользуемся неравенством треугольника: для произвольных сторон a, b и c выполняется неравенство a + b > c.

Применяя это неравенство к треугольнику BDE, получаем: BE + BD > DE

Подставляем известные значения: b/2 + c/2 > DE

Упрощаем выражение: (b + c)/2 > DE

Аналогично, для треугольника ADE получаем: AD + AE > DE c/2 + b/2 > DE (b + c)/2 > DE

Таким образом, мы получили, что сумма двух медиан треугольника (AD + BE) больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены ((b + c)/2).

Таким образом, мы доказали, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены.