Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла образует с гипотенузой углы, один из которых в два раза больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Answer 1

Пусть углы между биссектрисой и гипотенузой будут х и 2х. 
Рассмотрим треугольник СНВ. Здесь <HCB=45°, т.к. СН - биссектриса, <CHB=2x. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем неизвестный угол В:<B=180-<HCB-<CHB=180-45-2x=135-2x
В треугольнике АСН точно так же найдем угол А:
<A=180-<ACH-<AHC=180-45-x=135-x
Для прямоугольного треугольника АВС запишем сумму всех его углов:
<A+<B+<C=180
(135-x)+(135-2x)+90=180
360-3x=180
3x=180
x=60
Значит <B=135-2*60=15°, <A=135-60=75°

Answer 2

Решение:

Для решения задачи, давайте обозначим острые углы прямоугольного треугольника как α, β и γ, где γ является наибольшим углом.

Из условия задачи известно, что биссектриса наибольшего угла образует с гипотенузой углы, один из которых в два раза больше другого. Обозначим эти углы как α/2 и β/2.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

α/2 + β/2 = γ (1) α/2 = 2(β/2) (2)

Из уравнения (2) можно выразить α через β:

α = 4β (3)

Подставим выражение для α из уравнения (3) в уравнение (1):

4β/2 + β/2 = γ 5β/2 = γ

Теперь мы можем выразить α и β через γ:

α = 4(5β/2) = 10β β = 2(5β/2) = 5β

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны α = 10β и β = 5β, где β является наименьшим углом.

Получается, что α + β + γ = 10β + 5β + γ = 16β + γ = 180°, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Мы знаем, что γ является наибольшим углом, значит γ > β. Подставим γ = 5β в уравнение:

16β + 5β = 180° 21β = 180° β = 180° / 21 ≈ 8.571°

Теперь найдем γ:

γ = 5β ≈ 5 * 8.571° ≈ 42.857°

И, наконец, найдем α:

α = 10β ≈ 10 * 8.571° ≈ 85.714°

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны α ≈ 85.714°, β ≈ 8.571° и γ ≈ 42.857°.