Question

Теорема о пересекающихся хордах окружности.

Answer 1

При пересечении двух хорд, произведения значений длин отрезков, образованных точками пересечения и концами хорд, равны.
Док-во:
Угол АСЕ = Угол ABD, как углы, опирающиеся на одну дугу в окружности.
Угол AEC=Угол  BED, как вертикальные.  След-но треугольник AEC подобен треугольнику DBE. Из подобия треугольников следует:
AE/EC = ED/BE  --> AE*BE = EC*ED, что и требовалось док-ть.

Answer 2

Теорема о пересекающихся хордах окружности

Теорема о пересекающихся хордах окружности утверждает, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков каждой хорды равно.

Формальное выражение теоремы: Пусть AB и CD - две пересекающиеся хорды окружности, пересекающиеся в точке P. Тогда произведение отрезков AP и BP равно произведению отрезков CP и DP.

Формулировка теоремы: Пусть AB и CD - две пересекающиеся хорды окружности, пересекающиеся в точке P. Тогда AP * BP = CP * DP.

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы о пересекающихся хордах окружности можно провести с использованием свойств подобных треугольников и пропорций.

1. Рассмотрим треугольники APB и CPD. Они подобны, так как углы при вершине P равны (по свойству пересекающихся хорд), а углы при вершине A и C также равны (по свойству хорд, опирающихся на одну дугу). 2. Из подобия треугольников APB и CPD следует, что отношение длин сторон этих треугольников равно: AP/CP = BP/DP. 3. Умножим обе части равенства на CP и DP: AP * DP = BP * CP. 4. Полученное равенство означает, что произведение отрезков AP и DP равно произведению отрезков BP и CP, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали теорему о пересекающихся хордах окружности.

Пример применения теоремы

Представим, что у нас есть окружность с двумя пересекающимися хордами AB и CD, пересекающимися в точке P. Мы знаем, что AP = 4, BP = 3 и CP = 5. Мы можем использовать теорему о пересекающихся хордах, чтобы найти значение DP.

Используя теорему, мы можем записать следующее равенство: AP * BP = CP * DP.

Подставляя известные значения, получаем: 4 * 3 = 5 * DP.

Решая это уравнение, мы находим, что DP = 12/5.

Таким образом, с использованием теоремы о пересекающихся хордах окружности, мы можем находить значения отрезков, если известны другие отрезки и точка их пересечения.