Question

Основание равнобедренного треугольника имеет длину 24. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка, который эта прямая отсекает от боковой стороны (считая от вершины), если угол при основание составляет 30 градусов.

Answer 1

 Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. 

Так как площади треугольников относятся, как 2:1 (площадь большего к площади меньшего ), то коэффициент подобия - √2
Половина основания большего треугольника равна 24:1=12
Основание меньшего Δ равно
12:√2
Это - дробь 12/√2. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на √2, получим длину меньшего основания 6√2
Подрисуем к боковой стороне меньшего треугольника такой же точно до получения прямоугольника с диагональю аb. (Можно не подрисовывать, но так нагляднее в сделанном мной рисунке).
Высота меньшего треугольника лежит против угла 30 °. Следовательно, сторона аb больше этой высоты в 2 раза.
Обозначим высоту х, сторону 2х.
По теореме Пифагора
х²=4х²- (6√2)²
3х²=72
х=√24=2√6
аb=2х=4√6

Answer 2

Основание равнобедренного треугольника

Для начала, обозначим основание равнобедренного треугольника как \( 2a \), где \( a \) - длина каждой из боковых сторон, а угол при основании равен 30 градусам. Используем формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная из вершины до основания, также является медианой и биссектрисой. Поскольку прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам, она также делит высоту пополам. Обозначим длину отрезка, который эта прямая отсекает от боковой стороны, как \( x \).

Теперь мы можем записать уравнение для площади треугольника через основание и высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \times 2a \times h \]

И уравнение для площади, разделенной прямой, параллельной основанию:

\[ S_1 = \frac{1}{2} \times a \times \frac{h}{2} \]

где \( S_1 \) - площадь, которую отсекает прямая, а \( h \) - высота треугольника.

Теперь, так как треугольник равнобедренный, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту:

\[ h = a \times \tan(30^\circ) \]

Теперь мы можем выразить \( S_1 \) через \( a \) и \( x \):

\[ S_1 = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a \times \tan(30^\circ)}{2} \]

Также, так как прямая, параллельная основанию, делит площадь пополам:

\[ S_1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2a \times a \times \tan(30^\circ) = \frac{1}{8} \times 2a^2 \times \tan(30^\circ) \]

Теперь, найдем значение \( a \):

\[ a = \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь мы можем выразить \( x \):

\[ S_1 = \frac{1}{8} \times 2 \times 12^2 \times \tan(30^\circ) = \frac{1}{8} \times 288 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]

Таким образом, длина отрезка, который прямая отсекает от боковой стороны, равна \( 4\sqrt{3} \).