Question

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=4, ВС=5 и АС=6. Доказать, что прямая. проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.

Answer 1

Расстояние от центра вписанной окружности до BC равно радиусу и равно S/p=2S/(4+5+6)=2S/15, где S - площадь АВС, а р - его полупериметр.
Расстояние от точки пересечения медиан до ВС равно h/3=2S/3BC=2S/15, где h - высота треугольника АВС, проведенная к стороне BC. Таким образом, эти расстояния равны. Значит прямая из условия параллельна BC.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольника и его медиан.

Пусть точка D - середина стороны AB, точка E - середина стороны AC, а точка F - середина стороны BC. Также обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC как точку G.

Известно, что медианы треугольника делятся в отношении 2:1 относительно их длин. То есть, AG:GD = BG:GF = CG:GE = 2:1.

Так как точки D и E - середины сторон AB и AC соответственно, то отрезки GD и GE также делят стороны AB и AC пополам. Значит, AD = DB и AE = EC.

Также известно, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, делит каждую из медиан на отрезки, пропорциональные радиусу вписанной окружности. То есть, AG:GD = BG:GF = CG:GE = r:R, где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Так как точки D и E делят сторо