Question

Найдите наименьшее значение функции y=2cosx+5x+8 на отрезке

Answer 1

$y=2\cos x +5x+8\\ y'=-2\sin x+5\\\\ -2\sin x+5=0\\ 2\sin x=5\\ \sin x =\dfrac{5}{2}\\ x\in \emptyset$

y' больше нуля для всех действительных чисел, поэтому функция возрастает во всей своей области определения
таким образом наименьшее значение функции находится
для наименьшего аргумента (0)

$\boxed{y_{min}=2\cos 0+5\cdot0+8=2+8=10}$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 2cosx + 5x + 8 на заданном отрезке, нам понадобится использовать метод дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции y по переменной x:

Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим результаты: dy/dx = d(2cosx)/dx + d(5x)/dx + d(8)/dx

Первое слагаемое: d(2cosx)/dx = -2sinx (производная косинуса это минус синус) Второе слагаемое: d(5x)/dx = 5 (производная постоянного множителя x равна самому множителю) Третье слагаемое: d(8)/dx = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом, производная функции y равна: dy/dx = -2sinx + 5

2. Найдем точки экстремума функции:

Точки экстремума функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем значения x, для которых dy/dx = -2sinx + 5 = 0.

-2sinx + 5 = 0 -2sinx = -5 sinx = 5/2

Это уравнение не имеет решений, так как значения синуса находятся в диапазоне [-1, 1]. Следовательно, функция y = 2cosx + 5x + 8 не имеет точек экстремума.

3. Определим, какая кривая является функцией наименьшего значения:

Так как функция не имеет точек экстремума, это означает, что она не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения на заданном отрезке. Значит, функция может принимать любые значения на этом отрезке.

Таким образом, наименьшего значения функции y = 2cosx + 5x + 8 на заданном отрезке не существует.