Question

В треугольнике со сторонами AC=14, BC=10, AB=12 проведены биссектрисы АА1 и СС1, точки К и М основания перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые АА1 и СС1. Найдите площадь треугольника КВМ.

Answer 1

Высота к AC по формуле Герона:
p= (AB+BC+AC)/2 =18
H= 2√[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]/AC =
= 2√(18*6*8*4)/14 = 24√6/7

В треугольниках BAK1, BCM1 биссектриса является высотой => т. равнобедренные.
CB=CM1
AB=AK1
M1K1= AC-(AC-AK1)-(AC-CM1) = AB+CB-AC = 8

SBK1M1= M1K1*H /2 =4*24√6/7

В равнобедренных т. биссектриса является также медианой => MK соединяет середины BM1 и BK1 => MK  - средняя линия BK1M1.

Площадь треугольника, отсекаемого средней линией, равна 1/4 площади исходного.

SBKM = SBK1M1 /4 = 24√6/7 (~8,4) 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади треугольника через биссектрису треугольника. Площадь треугольника можно выразить как произведение полупериметра треугольника на радикаль из произведения разностей полупериметра и длин биссектрисы.

Давайте сначала найдем полупериметр треугольника ABC. Полупериметр вычисляется как сумма длин всех сторон треугольника, деленная на 2. В нашем случае, стороны треугольника равны AC = 14, BC = 10 и AB = 12. Поэтому полупериметр треугольника ABC равен:

s = (AC + BC + AB) / 2 = (14 + 10 + 12) / 2 = 36 / 2 = 18

Теперь мы должны найти длины биссектрис треугольника. Для этого мы можем использовать теорему треугольника, которая гласит, что биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону в отношении длин других двух сторон.

В нашем случае, построены биссектрисы AA1 и CC1, поэтому мы можем найти длину AA1 и CC1. Для этого мы можем использовать формулу:

AA1 = (2 * sqrt(BC * AB * s * (s - AC))) / (AB + BC) = (2 * sqrt(10 * 12 * 18 * (18 - 14))) / (12 + 10) CC1 = (2 * sqrt(AC * AB * s * (s - BC))) / (AC + AB) = (2 * sqrt(14 * 12 * 18 * (18 - 10))) / (14 + 12)

Вычислим эти значения:

AA1 = (2 * sqrt(10 * 12 * 18 * 4)) / 22 = (2 * sqrt(8640)) / 22 ≈ 13.03 CC1 = (2 * sqrt(14 * 12 * 18 * 8)) / 26 = (2 * sqrt(24192)) / 26 ≈ 13.51

Теперь, когда у нас есть длины биссектрис треугольника, мы можем вычислить площадь треугольника KVM, используя формулу:

S(KVM) = sqrt(s * (s - AA1) * (s - CC1) * (s - KV))

Где KV - длина перпендикуляра, опущенного из точки V на прямую AA1 и CC1. Длина KV может быть найдена с использованием теоремы Пифагора, так как треугольник KVB является прямоугольным треугольником.

Давайте найдем длину KV:

KV = sqrt(AA1^2 - BV^2) = sqrt(AA1^2 - (AB/2)^2) = sqrt(13.03^2 - 6^2) ≈ 11.95

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника KVM:

S(KVM) = sqrt(18 * (18 - 13.03) * (18 - 13.51) * (18 - 11.95)) ≈ 51.97

Таким образом, площадь треугольника KVM равна примерно 51.97 квадратных единиц.