Question

Известно, что прямая, параллельная прямой y=-4x касается параболы y=x^2. Вычислите координаты точки касания

Answer 1

Угловой коэффициент k= - 4 прямой y= - 4x приравниваем к производной функции y=x^2:  
                                           y'=2x
(ведь производная функции равна угловому коэффициенту касательной);
 
                                             2x= - 4; x= - 2⇒ y= (-2)^2=4.

Ответ: координаты точки касания x= - 2; y = 4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений, которая состоит из уравнения прямой и уравнения параболы.

Уравнение прямой, параллельной прямой y = -4x, имеет такой же коэффициент наклона, но другой свободный член. Общий вид уравнения прямой, параллельной данной, будет выглядеть как y = -4x + b, где b - свободный член.

Уравнение параболы имеет форму y = x^2.

Точка касания прямой и параболы будет удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Поэтому мы можем подставить уравнение прямой в уравнение параболы и решить получившуюся квадратное уравнение для нахождения координат точки касания.

Подставим y = -4x + b в уравнение параболы:

x^2 = (-4x + b)^2

Раскроем скобки:

x^2 = (16x^2 - 8bx + b^2)

Приведем подобные слагаемые:

15x^2 + 8bx - b^2 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Однако, для нахождения координат точки касания нам необязательно решать квадратное уравнение. Мы можем использовать информацию о том, что прямая касается параболы.

Когда прямая касается параболы, у них есть общая точка касания. В этой точке координаты x и y будут одинаковые для обоих функций. Поэтому мы можем приравнять уравнение параболы к уравнению прямой и найти координаты точки касания.

Подставим уравнение прямой в уравнение параболы:

x^2 = (-4x + b)^2

x^2 = 16x^2 - 8bx + b^2

Перенесем все слагаемые влево:

15x^2 + 8bx - b^2 = 0

Теперь мы можем приравнять это уравнение к нулю:

15x^2 + 8bx - b^2 = 0

Так как прямая касается параболы, у них есть общая точка касания. В этой точке координаты x и y будут одинаковые для обоих функций. Поэтому мы можем приравнять уравнение параболы к уравнению прямой и найти координаты точки касания.

x^2 = (-4x + b)^2

x^2 = 16x^2 - 8bx + b^2

Раскроем скобки:

x^2 = 16x^2 - 8bx + b^2

Приведем подобные слагаемые:

15x^2 + 8bx - b^2 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Для удобства, обозначим коэффициенты квадратного уравнения:

a = 15, b = 8b, c = -b^2

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти координаты точки касания.

Формула дискриминанта имеет вид:

D = b^2 - 4ac

Вычислим значение дискриминанта:

D = (8b)^2 - 4 * 15 * (-b^2)

D = 64b^2 + 60b^2

D = 124b^2

Если дискриминант D равен нулю, то уравнение имеет один корень и прямая касается параболы в одной точке. Если D больше нуля, то уравнение имеет два различных корня и прямая пересекает параболу в двух точках. Если D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней и прямая не пересекает параболу.

Если D = 0, то:

124b^2 = 0

Это означает, что коэффициент b равен нулю:

b = 0

Теперь мы можем найти значение x, подставив b в уравнение параболы:

x^2 = (-4x + 0)^2

x^2 = 16x^2

Перенесем все слагаемые влево:

15x^2 = 0

Решим это уравнение:

x = 0

Теперь мы можем найти значение y, подставив x в уравнение параболы:

y = x^2

y = 0^2

y = 0

Таким образом, координаты точки касания прямой y = -4x и параболы y = x^2 равны (0, 0).