Question

Докажите ,что четырёхугольник ABCD с вершинами A(8;-3),B(2;5),C(10;11),D(16;3) параллелограмм

Answer 1

Строим на координатной плоскости четырехугольник ABCD и сразу видим, что точка D(16;3) не может быть вершиной параллелограмма. быть не может.
Правильная точка D' параллелограмма - D'(11;3).
Возможно в условии вопроса была ошибка.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить выполнение двух условий:

1. Противоположные стороны параллельны. 2. Противоположные стороны равны по длине.

Давайте начнем с первого условия. Для этого мы можем найти уравнения прямых, содержащих стороны четырехугольника и проверить их параллельность. Уравнение прямой можно найти, используя формулу y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.

Сначала найдем уравнения прямых для сторон AB и CD. Угловой коэффициент (m) можно найти по формуле (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек. Свободный член (c) можно найти, подставив координаты одной из точек в уравнение прямой.

Для стороны AB: m = (5 - (-3)) / (2 - 8) = 8 / (-6) = -4/3 c = -3 - (-4/3)*8 = -3 + 32/3 = -9/3 + 32/3 = 23/3

Уравнение прямой AB: y = -4/3x + 23/3

Для стороны CD: m = (3 - 11) / (16 - 10) = -8 / 6 = -4/3 c = 3 - (-4/3)*16 = 3 + 64/3 = 9/3 + 64/3 = 73/3

Уравнение прямой CD: y = -4/3x + 73/3

Теперь мы видим, что угловые коэффициенты у противоположных сторон AB и CD равны, что означает их параллельность.

Повторим те же шаги для сторон BC и AD:

Для стороны BC: m = (11 - 5) / (10 - 2) = 6 / 8 = 3/4 c = 5 - (3/4)*2 = 5 - 3/2 = 10/2 - 3/2 = 7/2

Уравнение прямой BC: y = 3/4x + 7/2

Для стороны AD: m = (3 - (-3)) / (16 - 8) = 6 / 8 = 3/4 c = -3 - (3/4)*8 = -3 - 6 = -9

Уравнение прямой AD: y = 3/4x - 9

Угловые коэффициенты у противоположных сторон BC и AD также равны, что подтверждает их параллельность.

Теперь перейдем ко второму условию - равенству длин противоположных сторон. Для этого можно вычислить длины сторон AB, BC, CD и AD, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Длина стороны AB: √((2 - 8)^2 + (5 - (-3))^2) = √((-6)^2 + (8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

Длина стороны BC: √((10 - 2)^2 + (11 - 5)^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Длина стороны CD: √((16 - 10)^2 + (3 - 11)^2) = √(6^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

Длина стороны AD: √((16 - 8)^2 + (3 - (-3))^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Таким образом, длины всех противоположных сторон равны, что подтверждает второе условие.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(8;-3), B(2;5), C(10;11), D(16;3) является параллелограммом, так как выполняются оба условия: противоположные стороны параллельны и равны по длине.