Question

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.

Answer 1

Решение

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2r<hb a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностьюd>0 . Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr2=(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим 

(3r+3d)r2=(r+2d)(r+d)r,
откуда 3r=r+2d , т.е. r=d , так как r>0 , r+d>0 . Следовательно, стороны равны 3r , 4r , 5r . 

Ответ

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах треугольников и арифметической прогрессии.

Давайте обозначим длины сторон треугольника как a, b и c, где a < b < c. Отметим также диаметр вписанной в треугольник окружности как d.

Мы знаем, что длины сторон и диаметр вписанной окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Поэтому мы можем записать:

a, a + d, a + 2d, a + 3d

Теперь, вспомним некоторые свойства треугольников. В треугольнике сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Применим это свойство к нашему треугольнику:

a + (a + d) > a + 2d 2a + d > a + 2d a > d

(a + d) + (a + 2d) > a + 3d 2a + 3d > a + 3d 2a > 0 a > 0

Мы получили, что a > d и a > 0. Также, у нас есть условие a < b < c.

Решение:

Теперь, мы можем приступить к поиску всех таких треугольников, удовлетворяющих указанным условиям.

Возьмем произвольное положительное значение для a и d. Затем, используя эти значения, мы можем вычислить b и c:

b = a + d c = a + 2d d = a + 3d

Таким образом, мы получаем треугольник с длинами сторон a, a + d, a + 2d и диаметром вписанной окружности a + 3d. Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи.

Примеры таких треугольников:

- a = 1, d = 1: треугольник с длинами сторон 1, 2, 3 и диаметром вписанной окружности 4. - a = 2, d = 1: треугольник с длинами сторон 2, 3, 4 и диаметром вписанной окружности 5. - a = 3, d = 1: треугольник с длинами сторон 3, 4, 5 и диаметром вписанной окружности 6.

И так далее.

Таким образом, существует бесконечное количество таких треугольников, удовлетворяющих заданным условиям.