Question

Из точки M к окружности проведены 2 касательные к окружности MN и MP. Докажите что MO- биссектриса угла NMP. Докажите что прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам

Answer 1

Все просто - касательная к окружности - это кратчайшее растаяние между точкой вне окружности и точкой на окружности лежащей на прямой, которая не пересекает эту окружность - то есть не делает сечение.
Таким образом, из любой точки вне окружности можно провести два одинаковых отрезка, которые будут касательными. Не больше и не меньше.
Треугольник НМП равнобедренный. Отрезки НО и ПО являются радиусами одной окружности и по этому равны.Поскольку треугольники ОНМ и ОПМ подобны и равны, все их соответственные углы равны.
Тогда углы НМО=ПМО -> МО биссектриса.
Треугольник НМП равнобедренный, а ОМ является его продленной высотой, которая является в таком треугольнике и медианой и биссектрисой. А то, что МО - биссектриса данного угла мы доказали чуть выше. Таким образом НП - основание равнобренного треугольника, которое медиана угла М делит пополам.
НО является высотой треугольника ОНМ, так как это кратчайшее растояние от О до НМ - таким образом высота опущеная к данному основанию НМ из точки О - образует прямой угол. Как и в случае с другой прямой.

Answer 2

Задача:

Из точки M проведены 2 касательные к окружности MN и MP. Докажите, что MO - биссектриса угла NMP. Докажите, что прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам.

Решение:

Для доказательства этих утверждений, воспользуемся свойствами касательных и окружностей.

# Доказательство: MO - биссектриса угла NMP

Пусть точка O - центр окружности, а точки N и P - точки касания касательных с окружностью.

Из свойств касательных к окружности, мы знаем, что линия, соединяющая центр окружности с точкой касания, перпендикулярна касательной. Таким образом, линии NO и PO являются перпендикулярными касательными к окружности.

Также, из свойств окружностей, мы знаем, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, линии NO и PO являются радиусами окружности.

Так как NO и PO являются радиусами окружности и они равны, то точка O лежит на биссектрисе угла NMP.

# Доказательство: прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим треугольник MNP.

Из предыдущего доказательства мы уже знаем, что линия MO является биссектрисой угла NMP. Так как биссектриса делит угол пополам, то угол NMO равен углу PMO.

Также, из свойств биссектрисы, мы знаем, что она делит противолежащую сторону пополам. Следовательно, линия MO делит сторону NP пополам.

Таким образом, мы доказали, что прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам.

Ответ:

Таким образом, мы доказали, что MO - биссектриса угла NMP и прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам.