Question

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом альфа при вершине. Высоты всех боковых граней = l и создают с плоскостью основания кут фи. Найдите боковую сторону данного треугольника

Answer 1

Высоты боковых граней, апофемы, при проекции на плоскость основания дадут радиус вписанной в треугольник окружности r
r = l·cos(φ)
Полупериметр p
p = (a+b+c)/2 = (2a+2a·sin(α/2))/2 = a+a·sin(α/2)
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
S = rp
Площадь треугольника через две стороны и угол меж ними
S = 1/2 a²·sin(α)
rp = 1/2 a²·sin(α)
l·cos(φ)·(a+a·sin(α/2)) = 1/2 a²·sin(α)
l·cos(φ)·(1+sin(α/2)) = 1/2 a·sin(α)
a = 2·l·cos(φ)·(1+sin(α/2))/sin(α)

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать геометрические свойства равнобедренных треугольников и тригонометрию. Позвольте мне дать вам подробное объяснение.

Разбор задачи

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = a, и угол при вершине A равен α.


Мы также имеем пирамиду, в основании которой лежит данный равнобедренный треугольник, и все боковые грани пирамиды создают угол φ с плоскостью основания.

Нам нужно найти боковую сторону равнобедренного треугольника, то есть сторону AB или AC.

Решение задачи

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, где AD - высота пирамиды, DC - половина боковой стороны равнобедренного треугольника (то есть DC = AB/2 или DC = AC/2).


Мы знаем, что все боковые грани пирамиды создают угол φ с плоскостью основания. Тогда, в прямоугольном треугольнике ADC, угол φ будет равен углу A, так как AD перпендикулярно плоскости основания.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы выразить боковую сторону равнобедренного треугольника через известные значения.

Используя тригонометрический тангенс, мы можем написать следующее уравнение:

tan(φ) = AD/DC

Мы знаем, что AD равно высоте всех боковых граней пирамиды (l), и DC равно половине боковой стороны равнобедренного треугольника (AB/2 или AC/2).

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение:

tan(φ) = l / (AB/2) или tan(φ) = l / (AC/2)

Так как AB = AC, мы можем использовать любое из равенств.

Нахождение боковой стороны

Для нахождения боковой стороны равнобедренного треугольника, нам нужно решить уравнение, чтобы выразить AB или AC:

AB/2 = l / tan(φ) или AC/2 = l / tan(φ)

Умножим обе части уравнения на 2:

AB = 2 * (l / tan(φ)) или AC = 2 * (l / tan(φ))

Таким образом, мы нашли боковую сторону равнобедренного треугольника. Она равна:

AB = 2 * (l / tan(φ)) или AC = 2 * (l / tan(φ))

Теперь вы можете использовать это уравнение для нахождения значения боковой стороны равнобедренного треугольника, зная высоту всех боковых граней пирамиды (l) и угол φ, который создают боковые грани с плоскостью основания.

Пожалуйста, учтите, что для получения конкретного численного значения, необходимо знать значения l и φ.