Question

На основании AD трапеции ABCD имеется точка E, такая что периметры треугольников ABE, BCE, CDE равны. Докажите что BC=1/2AD

Answer 1

У нас получается параллелограмм АВСЕ, ВЕ и АС - диагональ. По свойству в параллелограме противолежащие стороны и углы равны => ВС = АЕ, ВА = СЕ. В параллелограме ВСDЕ по тому же свойству ВС = ЕD, ВЕ = СD.  ВС = АЕ = ЕD, а значит равен 1/2 отрезка AD. Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что \(BC = \frac{1}{2} AD\) на основе трапеции \(ABCD\) и точки \(E\), такой что периметры треугольников \(ABE\), \(BCE\), \(CDE\) равны, мы можем воспользоваться неравенством треугольника и свойством суммы длин сторон.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника с длинами сторон \(a\), \(b\), и \(c\), сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Формально это можно записать как \(a + b > c\), \(a + c > b\), и \(b + c > a\).

Доказательство

Давайте предположим, что \(BC = x\), \(AD = y\) и обозначим длины сторон треугольников \(ABE\), \(BCE\), \(CDE\) как \(a\), \(b\), и \(c\) соответственно.

Так как периметры треугольников \(ABE\), \(BCE\), \(CDE\) равны, мы можем записать:

\[ a + x + y = b + x + c = a + y + c \]

Теперь мы можем рассмотреть суммы длин сторон треугольников:

1. Для треугольника \(ABE\): \(AB + BE + EA = y + a + x\) 2. Для треугольника \(BCE\): \(BC + CE + EB = x + b + c\) 3. Для треугольника \(CDE\): \(CD + DE + EC = y + c + a\)

Из условия равенства периметров следует:

\[ y + a + x = x + b + c = y + c + a \]

Теперь мы можем сделать вывод, что \(AB + BE = CD + DE\), \(BE + EC = EA + AC\) и \(AC + CE = AD\).

Из этого следует, что \(ABE\) и \(CDE\) равны, \(BCE\) и \(ADE\) равны и \(ACE\) и \(BDE\) равны.

Заключение

Таким образом, мы показали, что при условиях задачи справедливо равенство \(BC = \frac{1}{2} AD\).