Question

Дан тетраэдр ABCD ,длины всех рёбер которого равны.Через ребро АВ и середину М ребра CD проведена плоскость.Найдите угол между плоскостями ABC и ABM.

Answer 1

Пусть тетраэдр ABCD, длина любого ребра а.Возможны два случая.1.  Плоскость проходит через середину высоты DE параллельно плоскости АВС. В этом случае вершина D находится с одной стороны плоскости, а вершины А, В, С - с другой. То есть высота тетраэдра DE равна 12. Как связаны длина ребра и высота тетраэдра, я выводить не буду, я это тут делал раз 100. DE = а√(2/3)откуда а = 12√(3/2) = 6√6;2. Противоположные (скрещивающиеся) ребра тетраэдра (то есть не имеющие общих вершин) взаимно перпендикулярны. Можно провести плоскость, параллельную двум таким ребрам, например AC и DB. Чтобы вершины A,C, B и D находились на равном расстоянии от этой плоскости (A и C - с одной стороны, B и D - с другой) плоскость надо провести через середины ребер AD, CD, AB и BC (кстати, в сечении получится квадрат).Расстояние между скрещивающимися ребрами тетраэдра равно a√2/2 (это отрезок, соединяющий середины АС и DB, он перпендикулярен построенной плоскости и делится ею пополам - докажите! это очень просто). Отсюда 12 = a/√2; a = 12√2
Примерно так!