Question

По рисунку с помощью векторов докажите, что четырёхугольник ABCD является трапецией со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Answer 1

$\bar{AD}\{4-(-8);-9-(-3)\}=\{12;-6\};$
$\bar{BC}\{4-(-4);3-7\}=\{8;-4\}; \ \bar{BC}=\frac{2}{3}\bar{AB}\Rightarrow$

AD параллельно BC.

$\bar{AC}\{4-(-8);3-(-3)\}=\{12; 6\};$
$\bar{BD}\{4-(-4);-9-7\}=\{8;-16\}.$

Скалярное произведение $(\bar{AC};\bar{BD})=12\cdot 8+6\cdot (-16)=96-96=0\Rightarrow \bar{AC}\perp \bar{BD}$

Замечание. Перед взятием скалярного произведения можно было заменить векторы на векторы того же направления, но меньшей длины. Скажем, первый вектор естественно поделить на 6, а второй на 8.