Question

Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга в точке C. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, касающаяся этих окружностей в точках A и B. Найдите сумму AB+BC, если радиус меньшей окружности равен корени из 3 умножить на разность двух и корня из двух

Answer 1

Пусть K и M - центры малой и большой окружностей соответственно. $KA \perp AB, MB \perp AB$. КА = r, MB = 2r.
Проведем прямую КТ, параллельную АВ, $KT \perp MB$.
Из прямоугольного треугольника КТМ, где
КМ = КС + СМ = r + 2r = 3r
МТ = МВ - ТВ = 2r - r = r
$KT = \sqrt{KM^{2}-MT^{2}}=\sqrt{(3r)^{2} - r^{2}} = 2r\sqrt{2}$.
Значит, АВ = КТ = $2r\sqrt{2}$.

Из треугольника КТМ $cos \angle M = \frac{MT}{KM} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$

Из треугольника СМВ, где СМ = МВ = 2r, по теореме косинусов
$BC^{2} = CM^{2}+ MB^{2}-2*CM*MB*cos \angle M$
$BC^{2} = (2r)^{2}+ (2r)^{2}-2*2r*2r*\frac{1}{3}$
$BC^{2} = 8r^{2} -\frac{8r^{2}}{3}$
$BC^{2} = \frac{16r^{2}}{3}$
$BC = \frac{4r}{\sqrt{3}}$

$AB + BC = 2r\sqrt{2} + \frac{4r}{\sqrt{3}} = 2r(\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{3}})= \frac{2r(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}$

И если я правильно расшифровала вашу текстовую запись, что $r = \sqrt{3}*(2-\sqrt{2})$, то $AB + BC = \frac{2*\sqrt{3}(2-\sqrt{2})(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}=4*(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})$