Question

1)точки с и д делят окружнось на дуги, градусные меры которых, пропорциональны числам 5 и 7. Дк-диаметр окружности. Вычислите градусные меры треугольника сдк 2)хорды окружности ав и км пересекаются в точке р, вычислите длину отрезка кр, если рм на 9 см меньше кр и ат=12, ав =19,5 1)основание равнобедренного тр-ника равно 18 см? Боковая его сторона 15 см. Вычислить длину радиуса вписанной в этот треугольник окружности

Answer 1

1. Вся окружность равна 360 дуговых градусов. Если т очки делят её на 5 и 7 частей, то 5х+7х=360    12х=360  х=30  5х=150  7х=210.

Диаметр отсекает от большей дуги 180 градусов. Значит дуга СК равна 210-180=30. Но вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается. Значит угол Д в треугольнике СДК равен 15 градусов.

Но угол С опирается на диаметр, значит он равен 90 градусов.. Сумма углов треугольника равна 180. Отсюда  угол К = 180-15-90=75.

 

2. Хорды при пересечении дают отрезки, произведение которых равны.

КР*РМ=АР*РВ

КР=у  РМ=х      х+9=у    АР=12,  РВ=19,5-12=7,5

х*(х+9)=12*7,5      x^2+9x-90=0    х=6          КР=6+9=15

 

3. Биссектриса при вершине равнобедренного треугольника совпадает с его высотой и медианой.  Радиус вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине.

Из прямоугольного треугольника АВД АВ=15, АД=9, ВД по теореме Пифагора = 12.

Два маленьких треугольника с вершиной А равны - прямоугольные, углы равны - АО - биссектриса. Значит, боковая сторона делится радиусом на 9 и 6.

Если радиус = х, то оставшаяся часть медианы при вершине 12-х.. Из прямоугольного треугольника находим х

 Катет =6, второй катет = х, гипотенуза = 12-х.

36+x^2=(12-x)^2  36+x^2=144 - 24x = x^2     х=4,5  Радиус вписанной окружности равен 4,5