Question

Луч AD биссектриса угла А на сторонах А есть точки BC угол APB=углу ADC Доказать что AB=AC

Answer 1

Вот решение..........................

Answer 2

Давайте рассмотрим данное утверждение и попробуем доказать его.

Пусть \(AD\) - биссектриса угла \(A\) в треугольнике \(ABC\), и на сторонах \(AB\) и \(AC\) есть точки \(P\) и \(Q\) соответственно, такие, что \(\angle APB = \angle ADC\).

Мы хотим доказать, что \(AB = AC\).

Рассмотрим треугольники \(APB\) и \(ADC\):

1. \(\angle APB = \angle ADC\) (дано). 2. \(\angle PAB = \angle CAD\) (по определению биссектрисы).

Теперь обратим внимание на общую сторону \(AB\), которая принадлежит обоим треугольникам:

3. \(\angle PAB = \angle CAD\) (по определению биссектрисы).

Из пунктов 2 и 3 следует, что треугольники \(APB\) и \(ADC\) подобны по углам.

Теперь рассмотрим соответствующие стороны этих треугольников:

4. \(\frac{AB}{AD} = \frac{PB}{CD}\) (по свойству подобных треугольников).

Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ACD\):

5. \(\angle CAD = \angle CAB\) (по определению биссектрисы).

Из пунктов 5 и 3 следует, что треугольники \(ABC\) и \(ACD\) подобны по углам.

Теперь рассмотрим соответствующие стороны этих треугольников:

6. \(\frac{AC}{AD} = \frac{CD}{AB}\) (по свойству подобных треугольников).

Теперь объединим уравнения 4 и 6:

\(\frac{AB}{AD} = \frac{PB}{CD} = \frac{AC}{AD} = \frac{CD}{AB}\).

Умножим обе стороны на \(AD \cdot AB \cdot CD\):

\[AB \cdot AB \cdot CD = PB \cdot AC \cdot AD = AC \cdot AD \cdot CD.\]

Сократим на \(AB \cdot CD\):

\[AB = AC.\]

Таким образом, мы доказали, что если \(\angle APB = \angle ADC\), то \(AB = AC\).