Question

Сформулируйт и докажите теорему об окружности описанной около правильного многоугольника

Answer 1

ТЕОРЕМА. Около любого многоугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство в скане.............

Answer 2

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника, утверждает, что центр окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, совпадает с центром многоугольника, и радиус этой окружности равен расстоянию от центра многоугольника до любой его вершины. Давайте сформулируем и докажем эту теорему.

Теорема: Для любого правильного \(n\)-угольника (где \(n \geq 3\)), окружность, описанная вокруг этого многоугольника, имеет центр, совпадающий с центром многоугольника, и радиус, равный расстоянию от центра многоугольника до любой его вершины.

Доказательство:

1. Центр окружности находится в центре многоугольника: Предположим, что \(O\) - центр окружности, описанной вокруг правильного многоугольника \(ABCDEF\), где \(ABCDEF\) - правильный \(n\)-угольник.

Так как многоугольник правильный, все его стороны и углы равны. Рассмотрим любую сторону многоугольника, например, сторону \(AB\).

Так как \(ABCDEF\) правильный, то центр окружности \(O\) лежит на середине стороны \(AB\). Аналогично, центр окружности будет лежать на серединах всех остальных сторон многоугольника.

Таким образом, центр окружности совпадает с центром правильного многоугольника.

2. Радиус окружности равен расстоянию до любой вершины: Возьмем произвольную вершину многоугольника, скажем, вершину \(A\). Рассмотрим треугольник \(OAB\), где \(O\) - центр окружности, \(A\) - вершина многоугольника, \(B\) - середина стороны \(AB\).

Так как сторона \(AB\) является радиусом окружности, а центр окружности лежит на середине этой стороны, то \(OA = OB\) - это радиус окружности.

Таким образом, радиус окружности равен расстоянию от центра многоугольника до любой его вершины.

Таким образом, теорема доказана. Окружность, описанная вокруг правильного многоугольника, имеет центр, совпадающий с центром многоугольника, и радиус, равный расстоянию от центра многоугольника до любой его вершины.