Question

Прямая,проходящая через середину бисссектрисы AD треугольника ABC ,перепендикулярно ей ,пересекает сторону AC в точке M.докажите,что MD//AB

Answer 1

АМD равнобедренный так как его высота МО тоже медиана.след.угол DAM равен углу ADM как углы при основании равнобедренного треугольника а т.к AD биссектриса то угол BAD равен углу DAM и равен углу ADM , углы BAD  и  ADM накрест лежащие при пересечении прямых АВ и МD и секущей AD т.е MD//AB 

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок MD параллелен стороне AB треугольника ABC, воспользуемся свойствами биссектрисы и перпендикуляра.

Свойства биссектрисы треугольника

1. Биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные остальным двум сторонам треугольника. 2. Биссектриса треугольника является перпендикуляром к прямой, проходящей через вершину и середину противоположной стороны.

Доказательство

1. Пусть N - середина стороны BC треугольника ABC. 2. Из свойства 2 биссектрисы следует, что прямая, проходящая через середину биссектрисы AD и вершину A, перпендикулярна биссектрисе AD. 3. Так как биссектриса AD перпендикулярна стороне BC треугольника ABC, то прямая, проходящая через середину биссектрисы AD и вершину A, параллельна стороне BC (по определению перпендикуляра). 4. По свойству 1 биссектрисы треугольника ABM, отрезок AM делит сторону BC пропорционально остальным двум сторонам треугольника. 5. Так как отрезок AM делит сторону BC пропорционально остальным двум сторонам треугольника, то также и отрезок AM делит сторону BC пропорционально отрезку ND (так как MD является продолжением отрезка ND). 6. Из свойства 1 биссектрисы треугольника ABM следует, что отрезок MD делит сторону AB пропорционально остальным двум сторонам треугольника. 7. Следовательно, отрезок MD параллелен стороне AB треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MD параллелен стороне AB треугольника ABC.