Question

Можно объяснить, почему высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу?

Answer 1

 Можно объяснить, почему высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу?

 

Можно. Только не высота равна, а ее квадрат. И Вы сами наверняка не  раз выводили это свойство при решении задач.

 

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится
гипотенуза этой высотой.

 

Оно выведено из  подобия треугольников, на которые высота, проведенная к гипотенузе,

делит исходный прямоугольный треугольник. Рассмотрим треугольники АСН и СНВ

 

Смотрим рисунок. 

 

∠ АСН=90 -∠НСВ

∠ НВС=90 -∠НСВ

 

Если в прямоугольных треугольниках есть равные острые углы, то такие треугольники подобны.

 

Треугольники АНС и СНВ подобны

 Меньший катет АН первого треугольника относится к меньшему катету СН второго треугольника,

 как больший катет СН первого относится к большему катету НВ - второго. 

 

АН:СН=СН:НВ

 

АН·НВ=СН²,  

.

а АН и НВ - это и есть проекция катетов на гипотенузу  

 

Answer 2

Высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу. Это можно объяснить с помощью геометрических свойств прямоугольного треугольника.

Объяснение:

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза является наибольшей стороной и соединяет два катета. Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины прямого угла к основанию треугольника (проекция основания на высоту).

По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. То есть, если обозначить длины катетов как a и b, а длину гипотенузы как c, то у нас есть следующее равенство: a^2 + b^2 = c^2.

Теперь рассмотрим проекции катетов на гипотенузу. Пусть p и q - длины проекций катетов a и b на гипотенузу c соответственно. Тогда, согласно геометрическим свойствам прямоугольного треугольника, проекции катетов образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой c и высотой h.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство: p * q = h * c.

Из равенства a^2 + b^2 = c^2 мы можем выразить один из катетов через гипотенузу и другой катет: a^2 = c^2 - b^2. Подставив это выражение в равенство p * q = h * c, получим следующее: p * q = h * (c^2 - b^2).

Таким образом, мы получаем, что высота треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу: h = p * q / c.

Пример:

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3, b = 4 и гипотенузой c = 5. Мы можем вычислить проекции катетов на гипотенузу следующим образом: p = a * c / b = 3 * 5 / 4 = 3.75 и q = b * c / a = 4 * 5 / 3 = 6.67. Теперь мы можем вычислить высоту треугольника: h = p * q / c = 3.75 * 6.67 / 5 = 5.

Таким образом, в данном примере высота прямоугольного треугольника равна 5.

Важно отметить, что данное объяснение основано на геометрических свойствах прямоугольного треугольника и не требует дополнительных источников для подтверждения.