Question

В правильной пятиугольной пирамиде сторона основания равна а, двугранный угол при основании b. Каков радиус вписанного шара?

Answer 1

Пусть Н - высота пирамиды. Sosn - площадь основания, Sboc - боковой, S - площадь всей поверхности, S = Socn + Sboc; V - объем, r - радиус вписанного шара.

Sboc*cosb = Socn;

S = Socn*(1 + 1/cosb); 

V = Socn*H/3; Socn = 3*V/H;

S = (3*V/H)*(1 + 1/cosb);

H/(1 + 1/cosb) = 3*V/S; 

Справа стоит радиус вписанного шара, потому что

V = r*S/3;

Если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.

r = H/(1 + 1/cosb);

Осталось вычислить высоту пирамиды.

Если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. Острый угол этого треугольника равен b. Проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом H = m*tgb;

r = m*tgb/(1+1/cosb) = m*sinb/(1 + cosb) = (a/2)*ctg(π/n)*sinb/(1 + cosb); 

r = (a/2)*ctg(π/5)*sinb/(1 + cosb); это ответ. 

 

 

$ctg(\pi/5) = ctg(36^0)= \sqrt{1+2/\sqrt{5}}$

Как выразить функции углов, кратных 18 градусам, в радикалах - это отдельная задача. В данном случае нет смысла ее решать - все равно угол b не задан.

Answer 2

Вписанный шар в пятиугольную пирамиду

Для решения данной задачи, нам необходимо найти радиус вписанного шара в пятиугольную пирамиду, у которой сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен b.

Чтобы найти радиус вписанного шара, мы можем использовать следующую формулу:

r = (a/2) * tan(b/2)

где r - радиус вписанного шара, a - сторона основания пирамиды, b - двугранный угол при основании.

Решение

Используя данную формулу, мы можем найти радиус вписанного шара в пятиугольную пирамиду с заданными параметрами.

r = (a/2) * tan(b/2)

Подставим значения a и b в формулу и рассчитаем радиус вписанного шара.

r = (a/2) * tan(b/2) = (a/2) * tan(b/2)

К сожалению, в предоставленных источниках не были найдены конкретные значения для стороны основания и двугранного угла при основании пятиугольной пирамиды. Поэтому, без этих значений, мы не можем рассчитать радиус вписанного шара.

Если у вас есть конкретные значения для стороны основания и двугранного угла при основании, пожалуйста, предоставьте их, и я смогу помочь вам рассчитать радиус вписанного шара.

Answer 3

Вписанный шар в пятиугольную пирамиду

Для нахождения радиуса вписанного шара в пятиугольную пирамиду с заданными параметрами, нам понадобятся значения стороны основания (a) и двугранного угла при основании (b).

Радиус вписанного шара в пятиугольную пирамиду можно найти с помощью следующей формулы:

r = (a / 2) * tan(b / 2)

где: - r - радиус вписанного шара, - a - сторона основания пятиугольной пирамиды, - b - двугранный угол при основании пятиугольной пирамиды.

Применение формулы

Используя формулу, мы можем найти радиус вписанного шара в пятиугольную пирамиду с заданными параметрами.

Для этого, нам необходимо знать значения стороны основания (a) и двугранного угла при основании (b).

Поиск в сниппетах не дал точного ответа на данный вопрос. Однако, мы можем использовать формулу, описанную выше, чтобы найти радиус вписанного шара в пятиугольную пирамиду с заданными параметрами.

Пример

Предположим, что