Question

Биссектриса углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке М, дежащий на стороне ВС. Луч ДМ пересекает прямую АВ в точке N. НАйдите периметр параллелограмма АВСД, если АN=10 СМ.

Answer 1

Биссектриса углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке М, дежащий на стороне ВС. Луч ДМ пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АN=10 СМ

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

<ADN=<CDN  т.к.  DN - биссектриса <D

(AN)  || (CD)  тогда <AND=<CDN  -скрещивающиеся углы

треугольник  NAD  - равнобедренный  (<AND=<АDN  )

|AN|=|AD\=10см

(АМ)  - биссектриса, высота, медиана 

по теореме Фалеса параллельные прямые (AD) || (BC) отсекают  на сторонах <AND

пропорциональные отрезки   , т.к. | NM |=| MD | следовательно |NB| = |АB| =|AN| / 2=10/2=5см

ПЕРИМЕТР  параллелограмма AB+BC+CD+DA=5+10+5+10=30 см

Ответ   периметр  30см

Answer 2

Из условия задачи следует, что луч DM является биссектрисой угла A. Обозначим точку пересечения биссектрисы DM с стороной AB как N.

Так как DM является биссектрисой угла A, то угол ADM равен углу MDA. Также, угол DMA равен углу MDC, так как ЛПМ - внутренний угол параллелограмма.

Таким образом, треугольники ADM и MDC подобны по двум углам.

Теперь рассмотрим треугольники ADM и NBM. Для начала заметим, что они треугольники подобны, так как у них соответствующие углы равны. Тогда можно составить пропорцию:

AM / MB = AD / DN

Так как AD = BC (так как ВС - параллельная сторона), то имеем:

AM / MB = BC / DN

AM / MB = BC / (AN - AB)

По условию, AN = 10 и CM = AN / 2 = 10 / 2 = 5. Также, из пропорции AM / MB = BC / (AN - AB) можно выразить MB через AM:

MB = AM * BC / (AN - AB)

Так как AB=AN-10=ANCM=5, то:

MB = AM * BC / 5

Найдем теперь периметр параллелограмма ABCD:

Полупериметр параллелограмма ABCD: p = (AB + BC) / 2

Так как AB = 2BM, то AB = 2 * MB = 2 * (AM * BC / 5) = 2AMBC / 5

Полупериметр параллелограмма ABCD: p = (2AMBC / 5 + BC) / 2 = (2AMBC + 5BC) / 10

Периметр параллелограмма ABCD: P = 2 * p = 2 * (2AMBC + 5BC) / 10 = (2AMBC + 5BC) / 5

Остается выразить BC через CM и AM. Обратимся к треугольнику MDC. Из подобия треугольников ADM и MDC получаем, что DM / MD = CM / AD

Так как CM = 5 и AD = BC, то:

DM / MD = 5 / BC

Из подобия треугольников ADM и NBM получаем, что AM / MB = DM / MD

Таким образом, AM / MB = DM / MD = 5 / BC

Из двух последних равенств получаем AM / MB = 5 / BC

AM / MB = 5 / BC

AM = 5MB / BC = 5 * (AM * BC / 5) / BC = AM

Таким образом, получаем уравнение:

AM = 5MB / BC

MB / BC = 5

BC / MB = 1/5

Вспоминая, что 1 / 5 = BC / MB, получаем, что BC / MB = 5. Это равенство является необходимым и достаточным условием того, что прямая BM пересекает биссектрису DM и параллельную сторону AB в точке M.

Подставив BC / MB = 5 в выражение для периметра, получим:

P = (2AMBC + 5BC) / 5 = (2AMBC + 5 * 5BC) / 5 = (2AMBC + 25BC) / 5

Итак, периметр параллелограмма ABCD равен (2AMBC + 25BC) / 5. Но нам неизвестны значения AM и BC, поэтому полную информацию для вычисления периметра мы не имеем. Для решения задачи требуется предоставить дополнительные данные о размерах параллелограмма или дополнительные равенства.