Question

Расстояние от точки А до центра окружности радиуса r равно 2r. Через точку A проведена секущая, которая пересекает окружность в точках B и C. Найти AC, если точка B делит отрезок AC пополам.

Answer 1

Проведем через точки А и С прямую, которая пересечет окружность в точках K и L.Причем AL=3r AK=r. По теореме о секущих
AK*AL=AB*AC=(AC^2)/2
AC=√(2AK*AL)=r√6

Answer 2

Давайте обозначим центр окружности как O, а точку A как (x₀, y₀). Поскольку расстояние от точки A до центра окружности равно 2r, где r - радиус, мы можем записать это следующим образом:

\[ AO = 2r \]

Далее, пусть точка B имеет координаты (x₁, y₁), а точка C имеет координаты (x₂, y₂). Также у нас есть условие, что точка B делит отрезок AC пополам. Это означает, что точка B является серединой отрезка AC. Таким образом, мы можем записать:

\[ B = \left(\frac{x_0 + x_2}{2}, \frac{y_0 + y_2}{2}\right) \]

Теперь давайте найдем уравнение окружности. Поскольку радиус равен \( r \), уравнение окружности имеет вид:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Так как точка B лежит на окружности, подставим ее координаты в это уравнение:

\[ \left(\frac{x_0 + x_2}{2} - x_0\right)^2 + \left(\frac{y_0 + y_2}{2} - y_0\right)^2 = r^2 \]

Разрешим это уравнение относительно \( x_2 \) и \( y_2 \). После упрощения и решения уравнения, мы получим значения \( x_2 \) и \( y_2 \).

Теперь у нас есть координаты точек A, B и C. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти длину отрезка AC. Формула расстояния между двуми точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в декартовой системе координат:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Таким образом, длина отрезка AC будет:

\[ AC = \sqrt{(x_2 - x_0)^2 + (y_2 - y_0)^2} \]

Подставим найденные ранее значения \( x_2 \) и \( y_2 \) в эту формулу, и мы получим окончательный ответ.