Question

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=16 а высота CH опущенная на гипотенузу равна 8 корней из 3. найдите sin угла ABC

Answer 1

АН^2=16^2-8v3^2=256-192=64, AH=8. Угол ACH=30(т.к. катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы). Значит угол HCB=90-30=60. Угол ABC=30. Синус 30 градусов=1/2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике соотношение между катетами, гипотенузой и высотой опущенной на гипотенузу выражается следующим образом:

\[CH^2 = AH \cdot BH.\]

Где \(AH\) и \(BH\) — катеты треугольника, а \(CH\) — высота, опущенная на гипотенузу. В данной задаче у нас уже известны значения для \(AC\) (катет) и \(CH\), и нужно найти остальные стороны треугольника.

Из условия задачи: \[AC = 16, \quad CH = 8\sqrt{3}.\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора и наше уравнение для высоты, чтобы найти остальные стороны треугольника.

Теорема Пифагора гласит: \[AB^2 = AC^2 + BC^2.\]

Подставим известные значения: \[AB^2 = 16^2 + BC^2.\]

Решим это уравнение для \(BC\): \[AB^2 = 256 + BC^2.\] \[BC^2 = AB^2 - 256.\] \[BC = \sqrt{AB^2 - 256}.\]

Теперь подставим значение высоты \(CH\) в уравнение для площади треугольника (она равна половине произведения катетов) и решим относительно второго катета:

\[CH^2 = AH \cdot BH.\] \[(8\sqrt{3})^2 = 16 \cdot BH.\] \[192 = 16 \cdot BH.\] \[BH = \frac{192}{16} = 12.\]

Таким образом, у нас есть значения для обоих катетов \(AH\) и \(BH\). Теперь мы можем использовать их для нахождения угла ABC, используя определение синуса:

\[\sin(ABC) = \frac{BH}{AC}.\] \[\sin(ABC) = \frac{12}{16}.\] \[\sin(ABC) = \frac{3}{4}.\]

Итак, \(\sin(ABC) = \frac{3}{4}\).