Question

Сформулировать признаки параллельности прямых и доказать один из них

Answer 1

Признаки параллельности прямых.

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть О - середина отрезка АВ. Проведем ОН⊥b и продлим его до пересечения с прямой а.

ΔОАК = ΔОВН по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО = ОВ, так как О - середина АВ, углы при вершине О равны как вертикальные, ∠ОАК = ∠ОВН по условию - накрест лежащие), значит

∠ОКА = ∠ОНВ = 90°.

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны, значит

а║b.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов 180°, то прямые параллельны.

Answer 2

Признаки параллельности прямых можно сформулировать следующим образом:

1. Углы, образуемые прямыми и пересекающей их плоскостью, равны между собой.

2. Прямые находятся в одной плоскости и не пересекаются.

3. Для любого точечного представления двух прямых, векторы направления прямых пропорциональны друг другу.

Докажем первый признак параллельности прямых.

Пусть даны две прямые, AB и CD, и пересекающая их плоскость P, также обозначим через O точку пересечения прямых. Пусть точки A, O, и C лежат на одной прямой.

Предположим, что AB и CD - не параллельны. Это означает, что прямые пересекаются в точке E, которая лежит вне плоскости P. Теперь построим отрезок OE.

Очевидно, что треугольники OEA и OEC подобны, так как у них один угол равен (угол EOC) и у них соответственные стороны пропорциональны (OA/OC = OB/OD = 1, так как OA = OC и OB = OD, поскольку прямые соприкасаются в точке O).

Из сходства треугольников следует, что углы OAE и OCE должны быть равными. Однако это противоречит предположению, что углы, образованные прямыми и пересекающей плоскостью, равны между собой.

Таким образом, предположение о том, что AB и CD не являются параллельными, неверно. Следовательно, прямые AB и CD являются параллельными.

Это доказательство основано на признаке равенства углов, образованных прямыми и пересекающей их плоскостью. Другие признаки можно доказать аналогичным образом, исходя из определения параллельных прямых и свойств геометрической параллельности.